M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Die Ableitung der Sinusfunktion

In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion $f:x \to sin(x)$ über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.

Merke: Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist $(sin (x))' = cos (x)$.

Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen

Die Ableitung der Kosinusfunktion

Merke: Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist $(cos (x))' = - sin (x)$.

Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist $cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)$ und $sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)$. Damit ist die Ableitung $(cos(x))'=(\left ( sin(\frac{\pi}{2}-x) \right)' =cos(\frac{\pi}{2}-x) \cdot (-1)= - cos(\frac{\pi}{2}-x)=- sin(x)$

Die Ableitung der Tangensfunktion

Man weiß $tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$. Mit der Quotientenregel kann man $tan(x)$ ableiten. Es ist $(tan(x))'=\frac{cos(x)\cdot cos(x) - sin(x)\cdot (-sin(x))}{(cos(x))^2}=\frac{(cos(x))^2+(sin(x))^2}{(cos(x))^2}=\frac{1}{(cos(x))^2}$

Merke: Die Ableitung der Tangensfunktion ist $(tan(x))'= \frac{1}{(cos(x))^2}$ .

Stammfunktionen

Merke: Die Menge aller Stammfunktionen F der Sinusfunktion $f:x \to sin(x)$ ist $F:x \to - cos(x) + C$ Kosinusfunktion $f:x \to cos(x)$ ist $F:x \to sin(x) + C$

Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:

• $\left ( - cos(x) + C \right )' = sin(x)$

• $\left ( sin(x) + C \right )' = cos(x)$.

Aufgaben

Merke Zur Wiederholung: $sin(-x) = - sin(x)$ und $cos(-x) = cos(x)$ $(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1$ $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$ und $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$ $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

  Aufgabe 1

Buch S. 134 / 1

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a) y' = - sin(x-3)
b) y' = cos(x²)· 2x = 2x cos(x²)
c) y' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (-cos(x)) = (cos(x))² - (sin(x))²
d) y' = 2 sin(x) · cos(x) (nachdifferenzieren!)
e) y' = 2 cos(x) · ( - sin(x)) = - 2 sin(x)·cos(x)
f) y' = - a· sin(ax + b)
g) y' = 2x · sin(x) + x² · cos(x)
h) Es ist 1 - (sin x)² = (cos x)². Daher ist y' = ((cos x)⁴)' = 4·(cos x)³· ( - sin x) = - 4 sin x · (cos x)³.
i) y' = 0
j) $y' = 3x^2 + 2x\cdot sin(\frac{3}{2}\pi) + cos(\pi)=3x^2 - 2x -1$
k) $y' = \frac{-sin(x) sin(x) - cos(x)cos(x)}{(sin(x))^2}= \frac{-1}{(sin(x))^2}$
l) y' = 2[1- sin(2x)] · [ - 2 cos(2x)] oder y = (cos(2x))² und y' = 2·cos(2x)·(-2sin(x))
m) y' = 0
n) $y' = \frac{sin(x) - x \cdot cos(x)}{(sin(x))^2}$
o) $y' = -sin(\frac{1}{x})\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{sin(\frac{1}{x})}{x^2}$
p) $y' = cos(\frac{\pi}{3}x)\cdot \frac{\pi}{3}$

q) $y' = \frac{1}{(cos(x))^2}$

  Aufgabe 2

Buch S. 135 / 3

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a)f(x) = sin(x), die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = cos(x)
f hat einen Extrempunkt in x₀, wenn f#(x₀ = 0 ist und ein VZW vorliegt.
(1) Im Intervall [$-1,6\pi;1,6\pi$] ist cos(x)= 0 für $x = -1,5\pi; -0,5\pi; 0,5\pi; 1,5\pi$
Bei $x = -1,5\pi$ hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei $x = -0,5\pi$ hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei $x = 0,5\pi$ hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei $x = 1,5\pi$ hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = cos(x) = 1 für $x = -\pi; 0, \pi$

b) f(x) = cos(2x), D = ]-2;2[. die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = - 2·sin(2x)
(1) f'(x) = - 2·sin(2x) = 0 für $x = -0,5\pi; 0; 0,5\pi$
Bei $x = -0,5\pi$ hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei $x = 0$ hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei $x = 0,5\pi$ hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = - 2·sin(2x) = 1 für sin(2x) = - 0,5 und $2x = -\frac{\pi}{6}$ und $x = -\frac{5\pi}{6}$, also $x = -\frac{5\pi}{12}$ und $-\frac{\pi}{12}$.

c) f(x) = tan(x) mit $f'(x)=\frac{1}{(cos(x))^2}$
(1) In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.
(2) f'(x) = 1 für $(cos(x))^2 = 1$, also für x = 0.

d) f(x) = 0,5 cos(2x + $\frac{\pi}{6}$) mit f'(x) = - sin(2x + $\frac{\pi}{6}$)
(1) f'(x) = - sin(2x + $\frac{\pi}{6}$) = 0, wenn $2x+\frac{\pi}{6} =-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi$.
$x_1=-\frac{-13\pi}{12} \notin D$
$x_2=-\frac{5\pi}{12}; x_3=-\frac{\pi}{12}; x_4=\frac{5\pi}{12};x_5=\frac{11\pi}{12}$
(2) f'(x) = - sin(2x + $\frac{\pi}{6}$) = 1 bzw. sin(2x + $\frac{\pi}{6}$) = - 1 für $2x + \frac{\pi}{6}= -\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}$
$x_6=-\frac{1\pi}{3}; x_7=\frac{2\pi}{3}$

Die Nullstellen der Ableitung wurden unter Berücksichtigung der Definitionsmenge bestimmt. Natürlich hat ein sin oder cos unendlich viele Nullstellen in R, aber da hier nur Intervalle gegeben waren, wurden passende x-Werte für die Nullstellen verwendet.

  Aufgabe 3

Buch S. 135 / 4

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a) F(x) = -0,5·cos(2x) + C
b) F(x) = $\pi$·sin($\frac{x}{\pi}) + C$
c) F(x) = $\frac{1}{2}x^2 + sin(x) + C$

d) F(x) = $-\frac{40}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{4}x) + C$

weitere Aufgaben

  Aufgabe 4

Buch S. 134 / 2

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Zuerst wird immer das Grundintervall [$0;2\pi$] betrachtet und danach auf die angegebene Grundmenge übertragen.
a) y' = cos(x) = 0 für $x = \frac{\pi}{2}$ oder $x = \frac{3\pi}{2}$
b) y' = 1 + sin(x) = 0 für sin(x) = -1, also $x = \frac{3\pi}{2}$ im Grundintervall und in G ist $x = -\frac{\pi}{2}$ oder $x=\frac{3\pi}{2}$
c) y' = -sin(2x) - 1 = 0 ergibt sin(2x) = -1 und $x = -\frac{\pi}{4}$ oder $x =\frac{3\pi}{4}$
d) y' = $\frac{\pi}{4}\cdot sin(\frac{\pi}{4}x)$ = 0 für $\frac{\pi}{4}x=k\cdot \pi$ ergibt x = -4 oder x = 0 oder x = 4</math>
e) y' = $\frac{\pi}{3}\cdot cos(\frac{\pi}{6}x)$ = 0 für $\frac{\pi}{6}x= \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$ ergibt x = 3 oder x = 9

f) y' $\frac{16}{\pi}sin(\frac{4}{\pi}x)$ = 0 für $\frac{4}{\pi}x = 0; \pi; 2\pi$ ergibt x = 0

  Aufgabe 5

Buch S. 135 / 6

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f(x) = 1 + sin(kx)
a) Für k = 2 ist f(x) = 1 + sin(2x)
Die Achsenpunkte erhält man für f(0) = 1, also auf der y-Achse (0;1) und auf der x-Achse sin(2x)=-1, also $2x = -\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}$, also $x = -\frac{\pi}{4}$ und $x = \frac{3\pi}{4}$.
Die Extremwerte erhält man durch Nullsetzen der Ableitungsfunktion f'. Es ist f'(x) = 2·cos(2x). Es ist 2·cos(2x) = 0, also cos(2x) = 0 für $x =- \frac{3\pi}{4}$, $x =- \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ und $x = \frac{3\pi}{4}$

b) f'(x) = k·cos(kx)
Tangente in A(0;1): Steigung m = f'(0) = k^*, y-Abschnitt t = 1, also y = k^*·x + 1.
Tangente in B($\frac{\pi}{k^*}$;1) : m = f'($\frac{\pi}{k^*}$)=$k^*\cdot cos(\pi)=-k^*$.
t erhält man mit f(($\frac{\pi}{k^*}$)=1 aus der Gleichung 1 = $-k^* \cdot \frac{\pi}{k^*} +t$ zu $t = 1-\pi$. Also ist die Gleichung der Tangente y = -k^*x + 1 - $\pi$.

Zwei Geraden stehen senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ist.

Also muss k^*·(-k^*) = -(k^*)² = - 1 sein. Dies ist für k^* = -1 oder k^{* = 1} erfüllt. Da k^* positiv ist, erhält man als einzige Lösung k^* = 1.

Der Schnittpunkt der beiden Tangenten y = x + 1 und y = -x + 1 - $\pi$ ist S($-\frac{\pi}{2};1-\frac{\pi}{2}$).

Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass das Dreieck die Grundseite g = $\pi$ und die Höhe h = $\frac{\pi}{2}$ hat, also ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A = \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{4}$.