M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Die Ableitung der Sinusfunktion

In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion $f:x \to sin(x)$ über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.

Merke: Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist $(sin (x))' = cos (x)$.

Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen

Die Ableitung der Kosinusfunktion

Merke: Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist $(cos (x))' = - sin (x)$.

Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist $cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)$ und $sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)$. Damit ist die Ableitung $(cos(x))'=(\left ( sin(\frac{\pi}{2}-x) \right)' =cos(\frac{\pi}{2}-x) \cdot (-1)= - cos(\frac{\pi}{2}-x)=- sin(x)$

Die Ableitung der Tangensfunktion

Man weiß $tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$. Mit der Quotientenregel kann man $tan(x)$ ableiten. Es ist $(tan(x))'=\frac{cos(x)\cdot cos(x) - sin(x)\cdot (-sin(x))}{(cos(x))^2}=\frac{(cos(x))^2+(sin(x))^2}{(cos(x))^2}=\frac{1}{(cos(x))^2}$

Merke: Die Ableitung der Tangensfunktion ist $(tan(x))'= \frac{1}{(cos(x))^2}$ .

Stammfunktionen

Merke: Die Menge aller Stammfunktionen F der Sinusfunktion $f:x \to sin(x)$ ist $F:x \to - cos(x) + C$ Kosinusfunktion $f:x \to cos(x)$ ist $F:x \to sin(x) + C$

Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:

• $\left ( - cos(x) + C \right )' = sin(x)$

• $\left ( sin(x) + C \right )' = cos(x)$.

Aufgaben

Merke Zur Wiederholung: $sin(-x) = - sin(x)$ und $cos(-x) = cos(x)$ $(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1$ $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$ und $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$ $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

  Aufgabe 1

Buch S. 134 / 1

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a) y' = - sin(x-3)
b) y' = cos(x²)· 2x = 2x cos(x²)
c) y' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (-cos(x)) = (cos(x))² - (sin(x))²
d) y' = 2 sin(x) · cos(x) (nachdifferenzieren!)
e) y' = 2 cos(x) · ( - sin(x)) = - 2 sin(x)·cos(x)
f) y' = - a· sin(ax + b)
g) y' = 2x · sin(x) + x² · cos(x)
h) Es ist 1 - (sin x)² = (cos x)². Daher ist y' = ((cos x)⁴)' = 4·(cos x)³· ( - sin x) = - 4 sin x · (cos x)³.
i) y' = 0
j) $y' = 3x^2 + 2x\cdot sin(\frac{3}{2}\pi) + cos(\pi)=3x^2 - 2x -1$
k) $y' = \frac{-sin(x) sin(x) - cos(x)cos(x)}{(sin(x))^2}= \frac{-1}{(sin(x))^2}$
l) y' = 2[1- sin(2x)] · [ - 2 cos(2x)] oder y = (cos(2x))² und y' = 2·cos(2x)·(-2sin(x))
m) y' = 0
n) $y' = \frac{sin(x) - x \cdot cos(x)}{(sin(x))^2}$
o) $y' = -sin(\frac{1}{x})\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{sin(\frac{1}{x})}{x^2}$
p) $y' = cos(\frac{\pi}{3}x)\cdot \frac{\pi}{3}$

q) $y' = \frac{1}{(cos(x))^2}$

  Aufgabe 2

Buch S. 135 / 3

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a)f(x) = sin(x), die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = cos(x)
f hat einen Extrempunkt in x₀, wenn f#(x₀ = 0 ist und ein VZW vorliegt.
(1) Im Intervall [$-1,6\pi;1,6\pi$] ist cos(x)= 0 für $x = -1,5\pi; -0,5\pi; 0,5\pi; 1,5\pi$
Bei $x = -1,5\pi$ hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei $x = -0,5\pi$ hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei $x = 0,5\pi$ hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei $x = 1,5\pi$ hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = cos(x) = 1 für $x = -\pi; 0, \pi$

b) f(x) = cos(2x), D = ]-2;2[. die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = - 2·sin(2x)
(1) f'(x) = - 2·sin(2x) = 0 für $x = -0,5\pi; 0; 0,5\pi$
Bei $x = -0,5\pi$ hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei $x = 0$ hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei $x = 0,5\pi$ hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = - 2·sin(2x) = 1 für sin(2x) = - 0,5 und $2x = -\frac{\pi}{6}$ und $x = -\frac{5\pi}{6}$, also $x = -\frac{5\pi}{12}$ und $-\frac{\pi}{12}$.

c) f(x) = tan(x) mit $f'(x)=\frac{1}{(cos(x))^2}$
(1) In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.
(2) f'(x) = 1 für $(cos(x))^2 = 1$, also für x = 0.

d) f(x) = 0,5 cos(2x + $\frac{\pi}{6}$) mit f'(x) = - sin(2x + $\frac{\pi}{6}$)
(1) f'(x) = - sin(2x + $\frac{\pi}{6}$) = 0, wenn $2x+\frac{\pi}{6} =-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi$.
$x_1=-\frac{-13\pi}{12} \notin D$
$x_2=-\frac{5\pi}{12}; x_3=-\frac{\pi}{12}; x_4=\frac{5\pi}{12};x_5=\frac{11\pi}{12}$
(2) f'(x) = - sin(2x + $\frac{\pi}{6}$) = 1 bzw. sin(2x + $\frac{\pi}{6}$) = - 1 für $2x + \frac{\pi}{6}= -\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}$
$x_6=-\frac{1\pi}{3}; x_7=\frac{2\pi}{3}$

Die Nullstellen der Ableitung wurden unter Berücksichtigung der Definitionsmenge bestimmt. Natürlich hat ein sin oder cos unendlich viele Nullstellen in R, aber da hier nur Intervalle gegeben waren, wurden passende x-Werte für die Nullstellen verwendet.

  Aufgabe 3

Buch S. 135 / 4

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a) F(x) = -0,5·cos(2x) + C
b) F(x) = $\pi$·sin($\frac{x}{\pi}) + C$
c) F(x) = $\frac{1}{2}x^2 + sin(x) + C$

d) F(x) = $-\frac{40}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{4}x) + C$

weitere Aufgaben

  Aufgabe 4

Buch S. 134 / 2

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Zuerst wird immer das Grundintervall [$0;2\pi$] betrachtet und danach auf die angegebene Grundmenge übertragen.
a) y' = cos(x) = 0 für $x = \frac{\pi}{2}$ oder $x = \frac{3\pi}{2}$
b) y' = 1 + sin(x) = 0 für sin(x) = -1, also $x = \frac{3\pi}{2}$ im Grundintervall und in G ist $x = -\frac{\pi}{2}$ oder $x=\frac{3\pi}{2}$
c) y' = -sin(2x) - 1 = 0 ergibt sin(2x) = -1 und $x = -\frac{\pi}{4}$ oder $x =\frac{3\pi}{4}$
d) y' = $\frac{\pi}{4}\cdot sin(\frac{\pi}{4}x)$ = 0 für $\frac{\pi}{4}x=k\cdot \pi$ ergibt x = -4 oder x = 0 oder x = 4</math>
e) y' = $\frac{\pi}{3}\cdot cos(\frac{\pi}{6}x)$ = 0 für $\frac{\pi}{6}x= \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$ ergibt x = 3 oder x = 9

f) y' $\frac{16}{\pi}sin(\frac{4}{\pi}x)$ = 0 für $\frac{4}{\pi}x = 0; \pi; 2\pi$ ergibt x = 0

  Aufgabe 5

Buch S. 135 / 6

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f(x) = 1 + sin(kx)
a) Für k = 2 ist f(x) = 1 + sin(2x)
Die Achsenpunkte erhält man für f(0) = 1, also auf der y-Achse (0;1) und auf der x-Achse sin(2x)=-1, also $2x = -\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}$, also $x = -\frac{\pi}{4}$ und $x = \frac{3\pi}{4}$.
Die Extremwerte erhält man durch Nullsetzen der Ableitungsfunktion f'. Es ist f'(x) = 2·cos(2x). Es ist 2·cos(2x) = 0, also cos(2x) = 0 für $x =- \frac{3\pi}{4}$, $x =- \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ und $x = \frac{3\pi}{4}$

b) f'(x) = k·cos(kx)
Tangente in A(0;1): Steigung m = f'(0) = k^*, y-Abschnitt t = 1, also y = k^*·x + 1.
Tangente in B($\frac{\pi}{k^*}$;1) : m = f'($\frac{\pi}{k^*}$)=$k^*\cdot cos(\pi)=-k^*$.
t erhält man mit f(($\frac{\pi}{k^*}$)=1 aus der Gleichung 1 = $-k^* \cdot \frac{\pi}{k^*} +t$ zu $t = 1-\pi$. Also ist die Gleichung der Tangente y = -k^*x + 1 - $\pi$.

Zwei Geraden stehen senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ist.

Also muss k^*·(-k^*) = -(k^*)² = - 1 sein. Dies ist für k^* = -1 oder k^{* = 1} erfüllt. Da k^* positiv ist, erhält man als einzige Lösung k^* = 1.

Der Schnittpunkt der beiden Tangenten y = x + 1 und y = -x + 1 - $\pi$ ist S($-\frac{\pi}{2};1-\frac{\pi}{2}$).

Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass das Dreieck die Grundseite g = $\pi$ und die Höhe h = $\frac{\pi}{2}$ hat, also ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A = \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{4}$.

  Aufgabe 6

Buch S. 135 / 7

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a)
b)Größte Tageslänge 12,2 + 4,4 = 16,6 (h)
kürzeste Tageslänge 12,2 - 4,4 = 7,8 (h)
Das Datum erhält man durch Bestimmung des Extremwerte. $f'(x) = 4,4\cdot \frac{2\pi}{365}\cdot cos(\frac{2\pi}{365}(x-81))=0$.
$\frac{2\pi}{365}(x-81) = \frac{\pi}{2}$ oder $\frac{2\pi}{365}(x-81)=\frac{3\pi}{2}$.
$x_1 = 81+\frac{365}{4}=172,25$ und $x_2=81 + \frac{3\cdot 365}{4}=354.75$
Auf dieser Seite kann man nachsehen, welches Datum diese Tage haben. Der 172. Tag im Jahr ist der 21. Juni, der 355. Tag des Jahres ist der 21. Dezember.
c) Der 21. März ist der 80. Tag im Jahr und die Tageslänge ist f(80)=12,12 (h),
der 21. Juni ist der 172. Tag im Jahr und die Tageslänge ist 16,6 (h),
der 23. September ist der 266.Tag im Jahr und die Tageslänge ist 12,01 (h),

der 21. Dezember ist der 355. Tag im Jahr und die Tageslänge ist 7,8 (h).

  Aufgabe 7

Buch S. 135 / 8

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a) siehe Applet unten

b)F'(x) = 2 + cos(x) = f(x)
G'(x) = $\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left ( cos(x)\cdot cos(x) - sin(x)\cdot sin(x) \right) =\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left ( (cos(x))^2 - (sin(x))^2 \right) =\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left ( 1 - (sin(x))^2 - (sin(x))^2 \right) =$
$\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\left (1-2(sin(x))^2 \right)= \frac{1}{2} -\frac{1}{2} + (sin(x))^2 = g(x)$

c) Laut Konstuktion ist d(a) = y_P - y_Q = f(a) - g(a).
d ist minimal in a^*, wenn d' für a = a^* eine Nullstelle mit VZW -/+ hat.
d'(a) = (2 + cos(a) -(sin(a))²)' = -sin(a) - 2sin(a)cos(a) = -sin(a)[1+2cos(a)]
-sin(a)[1+2cos(a)] = 0 für sin(a) = 0, also a = 0 oder a = $\pi$ oder
1+2cos(a) = 0, also $cos(a)=-\frac{1}{2}$ und $a = \frac{2\pi}{3}$
Für a $\in$ [0;$\pi$] ist -sin(a) stets negativ, 1 + 2cos(a) ist für 0 ≤ x < $\frac{2\pi}{3}$ positiv(, also d' ist insgesamt dort negativ) und für $\frac{2\pi}{3}$ < a < $\pi$ negativ(, also d# ist dort insgesamt positiv). Also hat d' bei a = $\frac{2\pi}{3}$ einen VZW -/+ und d hat dort ein Minimum.
Es ist $d(\frac{2\pi}{3})= 2 -\frac{1}{2} - \frac{3}{4}=0,75$
Aus der Zeichnung sieht man, dass d für a = 0 oder a = $\pi$ kein Minimum hat.

Die Steigung der Tangente in P ist f'($\frac{2\pi}{3}$) = -sin($\frac{2\pi}{3}$) = $-\frac{\sqrt 3}{2}$.
Die Steigung der Tangente in Q ist g'(x) = 2sin($\frac{2\pi}{3}$)cos($\frac{2\pi}{3}$)=$2\cdot \frac{\sqrt 3}{2}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{\sqrt 3}{2}$.

Also sind die beiden Tangenten dort parallel.

  Aufgabe 8

Buch S. 136 / 10