M11 Ableitung der Logarithmusfunktionen

Merke Die natürliche Logarithmusfunktion (ln-Funktion) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Die ln-Funktion $f:x \to ln(x)$ hat folgende Eigenschaften: D = R+, W = R Der Graph geht durch den Punkt (1;0) Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend. Die negative y-Achse ist Asymptote.

Die Ableitung der ln-Funktion erhält man aus der Tatsache, dass die ln-Funktion Umkehrfunktion zur e-Funktion ist. Für $f:x\to e^x$ ist $f^{-1}:x \to ln(x)$ die Umkehrfunktion. Damit ist $f \circ f^{-1}(x)=x$. Für die Ableitung gilt hier ($f \circ f^{-1'} = 1$ und mittels der Kettenregel erhält man
$f'(f^{-1}(x))\cdot f^{-1'}(x) = 1$. Dies führt wieder zur Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.
Die Ableitung der e-Funktion ist $f '(x) = e^x$.
Damit erhält man für die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \to ln(x)$ als Ableitung:
$f'(x) = \frac{1}{f'(ln(x))}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}$.
Also ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $( ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Im folgenden Applet kann man diese Aussage über die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $\frac{1}{x}$ verifizieren. Über dem x-Wert des Punktes auf dem Graphen der ln-Funktion wird die Steigung der Tangente in dem Punkt an den Graphen angetragen. Dieser Punkt liegt auf der Hypberbel $\frac{1}{x}$.