M11 Ableitung der Logarithmusfunktionen

30px   Merke Die natürliche Logarithmusfunktion (ln-Funktion) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Die ln-Funktion $f:x \to ln(x)$ hat folgende Eigenschaften: D = R+, W = R Der Graph hat genau eine Nullstelle (1;0), es ist ln(1) = 0. ln(e) = 1 Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend. Die negative y-Achse ist Asymptote. Für $x \to \infty$ ist $ln(x) \to \infty$.

Die Ableitung der ln-Funktion erhält man aus der Tatsache, dass die ln-Funktion Umkehrfunktion zur e-Funktion ist. Für $f:x\to e^x$ ist $f^{-1}:x \to ln(x)$ die Umkehrfunktion. Damit ist $f \circ f^{-1}(x)=x$. Für die Ableitung gilt hier ($f \circ f^{-1'} = 1$ und mittels der Kettenregel erhält man
$f'(f^{-1}(x))\cdot f^{-1'}(x) = 1$. Dies führt wieder zur Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.
Die Ableitung der e-Funktion ist $f '(x) = e^x$.
Damit erhält man für die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \to ln(x)$ als Ableitung:
$f'(x) = \frac{1}{f'(ln(x))}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}$.
Also ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $( ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Im folgenden Applet kann man diese Aussage über die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $\frac{1}{x}$ verifizieren. Über dem x-Wert des Punktes auf dem Graphen der ln-Funktion wird die Steigung der Tangente in dem Punkt an den Graphen angetragen. Dieser Punkt liegt auf der Hypberbel $\frac{1}{x}$.

Merke: Die Ableitung von $ln(x)$ ist $(ln(x))' = \frac{1}{x}$

30px   Merke Zur Wiederholung: Die Rechengesetze des Logarithmus Produkt: $\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$ Quotient: $\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y$ Potenz: $\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.$ Wurzel: $\log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x.$ Basisumrechnung: $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$ Und hier viele Beispiele und Aufgaben mit Lösungen.

30px   Aufgabe 1

Leiten Sie ab
a) $f(x) = ln(4x)$
b) $f(x) = ln(\sqrt{x^2 + 5})$
c) $f(x) = ln(cos(x))$ für cos(x) > 0
d) $f(x) = ln((sin x)^2 + (cos x)^2)$

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Mit der Kettenregel erhält man
a) $f'(x) = \frac{4}{4x}=\frac{1}{x}$
Oder mit den Rechengesetzen des Logarithmus ist f(x) = ln(4) + ln(x) und die Ableitung ist $f'(x)=0 + \frac{1}{x} =\frac{1}{x}$
b) Es ist $ln(\sqrt{x^2 + 5})=ln((x^2+5)^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\cdot ln(x^2+5)$
Damit ist $f'(x) =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+5}\cdot 2x=\frac{x}{x^2+5}$
c) $f'(x) = \frac{1}{cos(x)}\cdot (-sin(x) = - \frac{sin(x)}{cos(x)}=-tan(x)$

d) Es ist (sin x)² + (cos x)² = 1, also ist f(x) = ln(1) = 0 und f'(x) = 0.