M11 Die Ableitung der Umkehrfunktion

Wiederholung

Die Funktion $f:x \to f(x)$ hat die Umkehrfunktion $f^{-1}$.

In der 9. Klasse hatte man die Quadratfunktion $f: x \to x^2$ mit D = R. Die Umkehrung des Quadrierens ist das Wurzelziehen und man hatte die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion. Die Wurzelfunktion ist $f^{-1}:x \to \sqrt x$ mit D = $R_0^+$.

  Aufgabe 1

Bearbeiten Sie die Seiten zur Umkehrfunktion.

Merke: Es ist $f \circ f^{-1}(x) = f^{-1} \circ f(x) = x$. Die Hintereinanderausführung einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion hebt sich in ihren Wirkungen auf und man erhält wieder x.

Merke: Eine Funktion $f$ ist im Intervall [a;b] umkehrbar, wenn $f$ in dem Intervall [a;b] streng monoton ist.

Die strenge Monotonie erhält man mit Hilfe der Ableitung von f.

Merke Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ zu einer Funktion $f$ findet man immer mit diesen Schritten: 1. Schränke die Definitionsmenge von $f$ so ein, dass $f$ streng monoton ist. 2. Löse die Funktionsgleichung y = f(x) nach x auf. 3. Vertausche x und y. 4. Die Definitionsmenge der eingeschränkten Funktion $f$ ist die Wertemenge der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und die Wertemenge von $f$ ist die Definitionsmenge von $f^{-1}$. Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion $f^{-1}$ durch Spiegelung des Graphen der Funktion $f$ an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.

Auf dieser Seite wird dies an Beispielen erklärt.
Hier sind auch Beispiele ohne Berücksichtigung der Definitionsmenge.

Merke Will man nur den Funktionsterm der Umkehrfunktion so macht man diese zwei Schritte 1. In der Gleichung y = f(x) werden x und y vertauscht. 2. Die Gleichung x = f(y) wird nach y aufgelöst.

  Aufgabe 2

Bearbeiten Sie diese Arbeitsblätter:
Arbeitsblatt 1, Arbeitsblatt 2.

  Aufgabe 3

Geben Sie für die e-Funktion $f:x \to e^x$ Definitionsmenge D und Wertemenge W an und bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$.
Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem. Was stellen Sie fest?

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D = R und W = R⁺.
In D = R ist die Exponentialfunktion streng monoton steigend, also umkehrbar.
In der Gleichung y = e^x werden x und y vertauscht und die neue Gleichung nach y aufgelöst.
x = e^y ergibt nach y aufgelöst y = ln(x).
Also ist die Umkehrfunktion f^-1: x --> ln(x) mit Definitionsmenge D_{Umkehrfunktion} = R⁺ und Wertemenge W_{Umkehrfunktion} = R.

Die beiden Graphen sind achsensymmetrisch zueinander bezüglich der Winkelhalbierenden y = x des 1. und 3. Quadranten.

Merke Die Umkehrfunktion der e-Funktion $f:x \to e^x$ mit D = R und W = R+ ist die natürliche Logarithmusfunktion $ln:x \to ln(x)$ mit D = R+ und W = R.

Die Ableitung der Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ macht die Wirkung der Funktion $f$ rückgängig. Es ist $\sqrt {x^2}= x$, wenn x positiv ist. Da die Quadratfunktion beim Bilden der Umkehrfunktion auf D = $R_0^+$ eingeschränkt wurde. die die x positiv und die Umkehrung ist in Ordnung.
Wenn man die Verkettung $f\circ f^{-1}$ betrachtet, dann ist $f\circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x))=x$, da die Verkettung der beiden Funktionen ihre Wirkungen aufheben und man erhält wieder x.

Nun ist $( f\circ f^{-1}(x))' = (f(f^{-1}(x))'=1$.
Ersetzt man $z = f^{-1}(x)$, dann ist $( f\circ f^{-1}(x))' = (f(z))'=f'(z) \cdot z'$. Dabei ist $z'=f^{-1'}(x)$.
Also ist $f'(z) \cdot z' = 1$ und $z'=\frac{1}{f'(z)}$. Ersetzt man wieder z durch $f^{-1}(x)$, dann hat man wegen $z'=f^{-1'}(x)$ die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Merke: Die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ der Funktion $f$ ist $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Beispiele:
1. Die Quadratfunktion $f:x \to x^2$ hat die Umkehrfunktion $f^{-1}:x\to \sqrt x$ (mit passenden Definitionsmengen, die hier nicht interessieren)
Dabei ist $f(x) = x^2$ und $f^{-1}(x) = \sqrt x$.
Desweiteren ist $f'(x) = 2x$.

Nun ist $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x)} = \frac{1}{2f^{-1}(x)}=\frac{1}{2\sqrt x}$

2. Die Funktion $f: x \to (x-0,5)^2 + 1,5$ mit D = R ist eine quadratische Funktion, deren Graph den Scheitel bei (0,5; 1,5) hat. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Funktion ist für x $\in$ [0,5;$\infty$[ streng monton zunehmend. Die Wertemenge ist W = [1,5;$\infty$[
Die Umkehrfunktion erhält man, indem man die Gleichung y = (x-0,5)² + 1,5
1. nach x auflöst.
$x = \sqrt {y-1,5} + 0,5$ und dann
2. x und y vertauscht
$y = \sqrt {x-1,5} + 0,5$
Also ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \to \sqrt {x-1,5} + 0,5$ mit D = [1,5;$\infty$[ und W = [0,5;$\infty$[.
Der Funktionsterm der Funktion $f$ lässt sich umformen in $f(x)= x^2 - x + 1,75$ und hat die Ableitung $f'(x)=2x - 1$.

Ist $z=f^{-1}(x)$, dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(z)}= \frac{1}{2z-1}= \frac{1}{2(\sqrt {x-1,5} + 0,5)-1}=\frac{1}{2\sqrt {x-1,5} }$

  Aufgabe 4

1. Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ zur Funktion $f:x \to x^5-1$ mit D = R.

2. Bestimmen Sie allgemein zur Potenzfunktion $f : x \to x^n$ mit n $\in$ N, D = $R_0^+$
a) die Umkehrfunktion $f^{-1}$.
b) die Ableitungsfunktion $f^{-1'}$ der Umkehrfunktion $f^{-1}$.

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In D = R ist $f$ streng monoton steigend, also umkehrbar.

• In der Funktionsgleichung $y = x^5 -1$ werden x und y vertauscht:
  

$x = y^5 -1$

• Die Gleichung $x = y^5 -1$ wird nach y aufgelöst:
  

$y = \sqrt [5]{x+1}$ und die Umkehrfunktion ist $f^{-1}:x \to \sqrt [5]{x+1}$

Es ist $f'(x) = 5x^4$.
Damit erhält man $f^{-1'}(x)= \frac{1}{5(f^{-1}(x))^4} = \frac{1}{5 \cdot (\sqrt [5]{x+1})^4} = \frac{1}{5\cdot (x+1)^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\cdot (x+1)^{-\frac{4}{5}}$, das ist der Term, den man auch mit der Potenzregel erhält.

2. a) Die Definitionsmenge der Funktion f ist bereits so, dass f dort streng monoton ist.
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen, also ist die Umkehrfunktion eine Wurzelfunktion.

• In der Funktionsgleichung y = f(x) werdem x und y vertauscht:
  

$x = y^n$

• Die Gleichung $x = y^n$ nach y auflösen ergibt $y = \sqrt [n]{x}$
  

Also ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \to \sqrt [n]{x}$ mit n $\in$ N, D = $R_0^+$.

Die Ableitung erhält man mit $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.

b) Die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ erhält man durch $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.
Also muss man zuerst $f$ ableiten. Es ist $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$.
Hiervon muss man den Kehrwert bilden $\frac{1}{n\cdot x^{n-1}}$ und statt x setzt man $f^{-1}(x)$ ein. Mit $f^{-1}(x) = \sqrt [n]{x}$ erhält man
$f^{-1'}(x)=\frac{1}{n \cdot (\sqrt [n]{x})^{n-1} } = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{x^{\frac{n-1}{n}}}$

Jetzt weiß man vom Ableiten von Potenzen, dass $(x^{\frac{1}{n}})' =\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}$ ist. Den Exponent von x kann man umformen $\frac{1}{n} - 1 = \frac{1-n}{n}=-\frac{n-1}{n}$ und das ist der Exponent von x in $f^{-1'}$.

  Aufgabe 5

Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion der e-Funktion.

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Die Ableitung der e-Funktion ist f '(x) = e^x.
Auch hier erhält man die Ableitung der Umkehrfunktion durch $f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.
Es ist für die Umkehrfunktion $f^{-1}:x \to ln(x)$
$f'(x) = \frac{1}{f'(ln(x))}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}$.

Also ist die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $( ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Im folgenden Applet kann man die Aussage, der Aufgabe 4, dass die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $\frac{1}{x}$ ist verifizieren. Über dem x-Wert des Punktes auf dem Graphen der ln-Funktion wird die Steigung der Tangente in dem Punkt an den Graphen angetragen. Dieser Punkt liegt auf der Hypberbel $\frac{1}{x}$.