M9 Aufgaben zur Trigonometrie

Ordne richtig zu

$cos(5^o)$

0

$cos(20^o)$

$sin(45^o)$

$tan(45^o)$

$sin(30^o)$

$sin(30^o)$

$cos(45^o)$$sin(0^o) + sin(90^o)$$cos(75^o) - sin(15^o)$$cos(60^o)$$sin(85^o)$0,5$sin(80^o)$

  Aufgabe 1

Im Einheitkreis (Kreis um den Ursprung mit Radius r = 1) ist das Dreieck ABC eingezeichnet.

1. Welche Länge hat die Hypotenuse c?
2. Bestimme $sin(\alpha), cos(\alpha)$.
3. Stelle die Gleichung zum Satz des Pythagoras auf. Verwende die Ergebnisse von 1. und 2. Welche Beziehung zwischen $sin(\alpha)$ und $cos(\alpha)$ erhältst du?

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1. Es ist c = 1, da c ein Radius ist.
2. $sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{a}{1}=a$
$cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{b}{1}=b$
3. $a^2 + b^2 = c^2$

Mit den Ergebnissen aus 1. und 2. erhält man $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$

Merke: $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$

  Aufgabe 2

1. Löse $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$ nach $sin(\alpha)$ bzw. $cos(\alpha)$ auf.

2. Berechne ohne Ermittlung des Winkels $\varphi$ für
a) $sin(\varphi)= 0,25$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$.
b) $cos(\varphi)= 0,5$ die Werte von $sin(\varphi), tan(\varphi)$.
c) $tan(\varphi)= 1$ die Werte von $sin(\varphi), cos(\varphi)$.
d) $sin(\varphi)= 0,11$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$.
e) $cos(\varphi)= 0,72$ die Werte von $sin(\varphi), tan(\varphi)$.
f) $sin(\varphi)= 0,5$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$.

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1. $sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}$ , $cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}$
2. a)$cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}=\sqrt {1-(0,25)^2}=0968$
$tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,25}{0,968}=0,258$

b) $sin(\varphi)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}=\sqrt {1-0,5^2}=0,866$
$tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,866}{0,5}=1,732$

c) $tan(\varphi)= 1$ bedeutet $\varphi = 445^o$ und $sin(45^o)=cos(45^o)= \frac{1}{2}\sqrt 2$

d) $cos(\varphi)=0,994, tan(\varphi)=0111$

e) $sin(\varphi)=0,694, tan(\varphi)=0,964$

f) $cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)=0577$