M9 Aufgaben zur Trigonometrie

Ordne richtig zu

$sin(45^o)$	$cos(45^o)$
$sin(85^o)$	$cos(5^o)$
$cos(20^o)$	$sin(80^o)$
$cos(60^o)$	$sin(30^o)$
$cos(75^o) - sin(15^o)$	0
$sin(30^o)$	0,5
$sin(0^o) + sin(90^o)$	$tan(45^o)$

  Aufgabe 1

Im Einheitkreis (Kreis um den Ursprung mit Radius r = 1) ist das Dreieck ABC eingezeichnet.

1. Welche Länge hat die Hypotenuse c?
2. Bestimme $sin(\alpha), cos(\alpha)$.
3. Stelle die Gleichung zum Satz des Pythagoras auf. Verwende die Ergebnisse von 1. und 2. Welche Beziehung zwischen $sin(\alpha)$ und $cos(\alpha)$ erhältst du?

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1. Es ist c = 1, da c ein Radius ist.
2. $sin(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{a}{1}=a$
$cos(\alpha)=\frac{b}{c}=\frac{b}{1}=b$
3. $a^2 + b^2 = c^2$

Mit den Ergebnissen aus 1. und 2. erhält man $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$

Merke: $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$

  Aufgabe 2

1. Löse $(sin(\alpha))^2 + (cos(\alpha))^2 = 1$ nach $sin(\alpha)$ bzw. $cos(\alpha)$ auf.

2. Berechne ohne Ermittlung des Winkels $\varphi$ für
a) $sin(\varphi)= 0,25$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$.
b) $cos(\varphi)= 0,5$ die Werte von $sin(\varphi), tan(\varphi)$.
c) $tan(\varphi)= 1$ die Werte von $sin(\varphi), cos(\varphi)$.
d) $sin(\varphi)= 0,11$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$.
e) $cos(\varphi)= 0,72$ die Werte von $sin(\varphi), tan(\varphi)$.
f) $sin(\varphi)= 0,5$ die Werte von $cos(\varphi), tan(\varphi)$.

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1. $sin(\alpha)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}$ , $cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}$
2. a)$cos(\alpha)=\sqrt {1-(sin(\alpha))^2}=\sqrt {1-(0,25)^2}=0968$
$tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,25}{0,968}=0,258$

b) $sin(\varphi)=\sqrt {1-(cos(\alpha))^2}=\sqrt {1-0,5^2}=0,866$
$tan(\varphi)=\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}=\frac{0,866}{0,5}=1,732$

c) $tan(\varphi)= 1$ bedeutet $\varphi = 445^o$ und $sin(45^o)=cos(45^o)= \frac{1}{2}\sqrt 2$

d) $cos(\varphi)=0,994, tan(\varphi)=0111$

e) $sin(\varphi)=0,694, tan(\varphi)=0,964$

f) $cos(\varphi)=0,866, tan(\varphi)=0577$

  Aufgabe 3

Buch S. 138 / 3 a - e
Buch S. 138 / 5 a, b

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138/3a) Im Dreieck sind An- und Gegenkathete zum Winkel $\beta$. Also $tan(\beta)=\frac{2cm}{6cm}=\frac{1}{3}$ ergibt $\beta = 18,4^o$.

b) Zum Winkel 25^o ist die Hypotenuse gegeben. Gesucht ist seine Gegenkathete. Also $sin(25^o)=\frac{x}{7cm} \rightarrow x = 7cm \cdot sin(25^)=3,0cm$.

c) Im Dreieck sind Ankathete und Hypotenuse zum Winkel $\gamma$. Also $cos(\gamma)=\frac{4cm}{10cm}=0,4$ ergibt $\gamma = 66,4^o$.

d) Hier hat man zwei rechtwinklige Dreiecke. Eines mit den Seiten z₁, y und 12cm, das andere mit den Seiten z₂, x und 12cm.

Im ersten Dreieck (mit den Seiten z₁, y und 12cm) ist zum Winkel 60^o die Gegenkathete gegeben. Dann kann man die Hypotenuse y mit dem Sinus berechnen. $sin(60^o)=\frac{12cm}{y} \rightarrow y = \frac{12cm}{sin(60^o)}=\frac{12cm}{\frac{1}{2}\sqrt 3}=\frac{24cm}{\sqrt 3}=8\sqrt 3 cm \approx 13,9cm$
In diesem Dreieck ist auch noch die Ankathete zum 60^o-Winkel gesucht. Hier kann man sich aussuchen, ob man mit cos oder tan rechnen will. $tan(60^o)=\frac{12cm}{z_1} \rightarrow z_1=\frac{12cm}{tan(60^o)}=\frac{12cm}{\sqrt 3}=4\sqrt 3 cm \approx 6,9cm$ oder $cos(60^o)=\frac{z_1}{y} \rightarrow z_1 = y \cdot cos(60^o)=13,9cm\cdot 0,5)=7,0cm$. Die unterschiedlichen Ergebnisse 6,9 cm und 7,0cm ergeben sich aus den Rundungen, mit denen man weiterrechnet. Wenn man die gnaze Anzeige des Taschenrechners nimmt und mit ihr weiterrechnet, erhält man in beiden Fällen 6,9cm.

Im zweiten Dreieck (mit den Seiten z₂, x und 12cm) geht man ähnlich vor.
$tan(55^o)=\frac{12cm}{z_2} \rightarrow z_2=\frac{12cm}{tan(55^o)}=8,4cm$,
$cos(55^o)=\frac{z_2}{x} \rightarrow x = \frac{8,4cm}{cos(55^o)}=14,6cm$

e) Auch hier hat man zwei Dreiecke. Im linken Dreieck ist zum 12^o-Winkel die Ankathete gegeben und die Hypotenuse gesucht. Also $cos(12^o)=\frac{7,2cm}{y} \rightarrow y = \frac{7,2cm}{cos(12^o)} =7,4cm$

Im rechten Dreieck ist die Gegenkathete zum 12^o-Winkel gesucht und die Ankathete gegeben. Also $tan(12^o)=\frac{x}{7,2cm} \rightarrow x = 7,2cm \cdot tan(12^o)=1,5cm$

Da es sich hier um ein Parallelogramm handelt, hätte man x auch mit dem Satz von Pythagoras berechnen können.

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138/5a) In dem Dreieck sind a, b, und $\gamma$ gegeben, also nimmt man als Überlegungsfigur das rechte Dreieck. Man sieht, dass man h_b berechnen kann. Es ist $sin(\gamma)=\frac{h_b}{a} \rightarrow h_b=a\cdot sin(\gamma)=4cm \cdot sin(45^o)=4cm \cdot \frac{1}{2}\sqrt 2=2\sqrt 2cm\approx 2,8cm$
Damit ist der Flächeninhalt $A = \frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}\cdot 7cm \cdot 2\sqrt 2cm =7\sqrt 2 cm^2\approx 9,9cm^2$

b) Im Dreieck sind b, C und amath>\alpha</math> gegeben, also nimmt man das linke Dreieck als Überlegungsfigur. Man kann h_c berechnen. Es ist $sin(\alpha)=\frac{h_c}{b} \rightarrow h_c = b\cdot sin(\alpha)=6cm \cdot sin(60^o)=6cm \cdot \frac{1}{2}\sqrt 3 = 3 \sqrt 3 cm \approx 5,2cm$.

Der Flächeninhalt ist $A=\frac{1}{2}ch_c=\frac{1}{2}\cdot 4cm \cdot 3\sqrt 3cm =6\sqrt 3 cm^2\approx 10,4cm^2$

  Aufgabe 4

Textaufgaben
Buch S. 139 / 10

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a) In dem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenuse c = 5m und der Winkel $\alpha=15^o$ gegeben. Es ist $sin(15^o)=\frac{d}{5m} \rightarrow d = 5m \cdot sin(15^o)=1,29m$.

b) Hier macht man sich erste eine Skizze und trägt Hilfslinien ein.
In der Zeichnung kennt man keinen Winkel, aber diverse Streckenlängen, allerdings keine Längen in einem rechtwinkligen Dreieck.
Die Höhe auf die Basis ist in der Skizze x + 1m. Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man x berechnen.

$\frac{x}{x+1} = \frac{0,75}{1,55}$