M10 Der Grenzwert

Holt nun Achilles die Schildkröte ein oder nicht?

Ihr habt ein ähnliches Problem schon mal in der 6. Klasse kennengelernt.

30px   Versuch Nimm die Brüche mit Nenner 9. Man kann diese Brüche als periodische Dezimalbrüche schreiben. Schreibe die Brüche $\frac{n}{9}$ mit n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aus Dezimalbrüche. Was fällt dir auf? Was ist speziell bei $\frac{9}{9}$ der Fall?

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Es ist $\frac{1}{9}=0,111111111....$
$\frac{2}{9}=0,222222222....$
$\frac{3}{9}=0,333333333....$
$\frac{4}{9}=0,444444444....$
$\frac{5}{9}=0,555555555....$
$\frac{6}{9}=0,666666666....$
$\frac{7}{9}=0,777777777....$
$\frac{8}{9}=0,888888888....$
$\frac{9}{9}=0,999999999....$

Andererseits weiß man, dass $\frac{9}{9}=1$ ist, also ist auch 0,99999999.... = 1. Der Dezimalbruch 0,999999999.... hat unendlich viele Nachkommastellen und letztendlich den Wert 1.

30px   Aufgabe 1

Holt Achilles nun die Schildkröte ein?
Ausgangssituation: Achilles läuft mit $v_A=10\frac{m}{s}$, die Schildkröte mit <matsh>v_S=1\frac{m}{s}</math> und die Schildkröte hat 10m Vorsprung.
1. Mache die Überlegung wie im Film und schaue welchen Weg Achilles, welchen Weg die Schildkröt dort zurücklegt. Wie groß ist die Wegdifferenz der beiden?

2. Nimm nun die Ausgangssituation und berechne wo Achilles und wo die Schildkröte nach 1s, 2s, 3s? Was folgerst du daraus?

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1. Achilles legt 10m + 1m + 0,1m + 0,01m + 0,001m + 0,0001m + ... = 11,1111....m zurück.
Die Schildkröte legt 1m + 0,1m + 0,01m + 0,001m + 0,0001m + ... = 1,1111m zurück.
In der Tabelle sind die Wege vom Startpunkt von Achilles aus angegegeben und die jeweilige Differenz von Achilles und der Schildkröte.

Die Wegdifferenz wird bei jedem Schritt um 0,1 kleiner.

2. Nach einer Sekunde hat Achilles 10m zurückgelegt, die Schildkröte 1m.
Nach 2s hat Achilles 20m zurückgelegt, die Schildkräte 2m. Also ist Achilles 8m vor der Schildkröte.
Nach 3s hat Achilles 30m zurückgelegt, die Schildkröte 3m. Nun ist Achilles 17m vor der Schildkröte.

Folgerung: Achilles hat die Schildkröte eingeholt und überholt.

30px   Aufgabe 2

Bilde die Summe
1. $1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ....$
2. $1 + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ ....$ Erstelle die Rechnung in einer Tabellenkalkulation. Vergrößere die Tabelle ruhig bis n = 500. Was stellst du jeweils fest?

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Die Summe mit den Kehrwerten der natürlichen Zahlen wird immer größer, während die Summe mit den Kehrwerten der Quadratzahlen bei jedem Schritt nicht sehr dazuwächst.

30px   Aufgabe 3

Betrachte die Funktion $f:x \rightarrow 2 - 2\cdot \left( \frac{1}{2} \right )^2$ und berechne die Funktionswerte $f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), ....$ mit Hilfe einer Tabellenkalkulation.
Was stellst du fest?

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Die Funktionswerte kommen der Zahl 2 sehr schnell beliebig nahe. und ab n = 36 ergibt sich auf 10 Nachkommastellen gerunden stets 2.

Merke: Nähern sich die Funktionswerte $f(x)$ für $x \rightarrow \infty$ der Zahl a beliebig nahe, dann heißt a Grenzwert oder Limes der Funktion. Man schreibt: $\lim_{x\to \infty} f(x) = a$. Man sagt auch, dass die Funktion f gegen die Zahl a konvergiert. Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote des Graphen G\sub>f</sub>. Dies gilt auch analog für $x \rightarrow -\infty$.