Aufgaben zur Lagebeziehung Gerade - Ebene

S. 145/2

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Die Normalform der Ebenengleichung lässt sich umformen zu 4x₁ - 5x₂ - 6x₃ - (4-6t)=0.
a) Damit die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft, ist ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene. Beim Normalenvektor der Ebene ist x₃=-6, ebenso ist beim Richtungsvektor der Geraden x₃=-6. Also müssen bei beiden Vektoren x₁ und x₂ übereinstimmen. Damit ist r = 4 und s = -5.

b) und c) Damit die Gerade (echt) parallel zur Ebene E ist oder in der Ebene E liegt, muss der Richtungsvektor der Gerade g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein. Also ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 4r - 5s + 36 = 0, d.h. r und s müssen diese Gleichung erfüllen, z.B. (r = -9 und s = 0) oder (r=-14 und s=-4)

Für t = 3 stimmt der Stützpunkt A(1;0;3) der Ebene E mit dem Stützpunkt A(1;0;3) der Geraden g überein. Dann liegt g in der Ebene.