Aufgaben zur Lagebeziehung Gerade - Ebene

S. 145/2

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Die Normalform der Ebenengleichung lässt sich umformen zu 4x₁ - 5x₂ - 6x₃ - (4-6t)=0.
a) Damit die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft, ist ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene. Beim Normalenvektor der Ebene ist x₃=-6, ebenso ist beim Richtungsvektor der Geraden x₃=-6. Also müssen bei beiden Vektoren x₁ und x₂ übereinstimmen. Damit ist r = 4 und s = -5.

b) und c) Damit die Gerade (echt) parallel zur Ebene E ist oder in der Ebene E liegt, muss der Richtungsvektor der Gerade g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein. Also ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 4r - 5s + 36 = 0, d.h. r und s müssen diese Gleichung erfüllen, z.B. (r = -9 und s = 0) oder (r=-14 und s=-4)

Für t = 3 stimmt der Stützpunkt A(1;0;3) der Ebene E mit dem Stützpunkt A(1;0;3) der Geraden g überein. Dann liegt g in der Ebene.

S. 145/3

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a) Damit die Gerade g auf der Ebene E senkrecht steht, muss ihr Richtungsvektor $\vec{u}$ kollinear zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene E sein, also ist $\vec{u} = k \cdot \vec{n}$.

b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor $\vec{u}$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ .
Desweiteren ragt der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene E heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ sind nicht komplanar.
Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor $\vec{n}$ vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ und der Normalenvektor $\vec{n}$ nicht senkrecht zueinander sind.

c) Auch hier muss wie in b) der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ .
Damit die Gerade g in der Ebene E liegt, ist nun der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E in der Ebene E, er ist also mit den Richtungsvektoren der Ebene komplanar.
Da aber wiederum der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene vorgegeben ist, ist nun der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$, also ist hier nun $\vec{AB} \circ \vec{n} = 0$ .

d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene E sein, also muss $\vec{u} \circ \vec{n} \neq 0$ sein. Dies beinhaltet dann auch a)!

Falls das Skalarprodukt $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ ist, hat man ja b) und c)!