Aufgaben zur Lagebeziehung Gerade - Ebene

S. 145/2

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Die Normalform der Ebenengleichung lässt sich umformen zu 4x₁ - 5x₂ - 6x₃ - (4-6t)=0.
a) Damit die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft, ist ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene. Beim Normalenvektor der Ebene ist x₃=-6, ebenso ist beim Richtungsvektor der Geraden x₃=-6. Also müssen bei beiden Vektoren x₁ und x₂ übereinstimmen. Damit ist r = 4 und s = -5.

b) und c) Damit die Gerade (echt) parallel zur Ebene E ist oder in der Ebene E liegt, muss der Richtungsvektor der Gerade g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E sein. Also ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 4r - 5s + 36 = 0, d.h. r und s müssen diese Gleichung erfüllen, z.B. (r = -9 und s = 0) oder (r=-14 und s=-4)

Für t = 3 stimmt der Stützpunkt A(1;0;3) der Ebene E mit dem Stützpunkt A(1;0;3) der Geraden g überein. Dann liegt g in der Ebene.

S. 145/3

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a) Damit die Gerade g auf der Ebene E senkrecht steht, muss ihr Richtungsvektor $\vec{u}$ kollinear zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene E sein, also ist $\vec{u} = k \cdot \vec{n}$.

b) Damit die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft muss ihr Richtungsvektor $\vec{u}$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ .
Desweiteren ragt der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E aus der Ebene E heraus, die Richtungsvektoren der Ebene und der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ sind nicht komplanar.
Da in dieser Aufgabe die Richtungsvektoren der Ebene nicht gegeben sind, sondern es ist der Normalenvektor $\vec{n}$ vorgegeben, ist dies gleichbedeutend damit, dass der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ und der Normalenvektor $\vec{n}$ nicht senkrecht zueinander sind, also ist $\vec{AB} \circ \vec{n} \neq 0$ .

c) Auch hier muss wie in b) der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene E sein, also ist das Skalarprodukt $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ .
Damit die Gerade g in der Ebene E liegt, ist nun der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ der beiden Stützpunkte A und B von der Geraden g und der Ebene E in der Ebene E, er ist also mit den Richtungsvektoren der Ebene komplanar.
Da aber wiederum der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene vorgegeben ist, ist nun der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$, also ist hier nun $\vec{AB} \circ \vec{n} = 0$ .

d) Damit die Gerade g die Ebene E schneidet, darf der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden g nicht senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene E sein, also muss $\vec{u} \circ \vec{n} \neq 0$ sein. Dies beinhaltet dann auch a)!

Falls das Skalarprodukt $\vec{u} \circ \vec{n} = 0$ ist, hat man ja b) und c)!

S. 145/4

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k ist Scharparameter der Ebenenschar E_k: x₁ + (k-2)x₂ + (2k+1)x₃ = 5 - 2k .

a) (1) Eine Ebene E_k enthält den Ursprung, wenn in der Normalenform die Konstante gleich Null ist, also 5-2k = 0 ist. Somit ist k = 2,5 und die Ebene E_2,5 enthält den Ursprung.
(2) Eine Ebene E_k ist parallel zur x₃-Achse, wenn in der Normalenform kein x₃ vorkommt, also muss der Koeffizient von x₃ gleich 0 sein, d.h. 2k+1 = 0 , also k = -0,5.
(3) Eine Ebene E_k ist die x₂x₃-Ebene, wenn ihr Normalenvektor der Richtungsvektor der _x1-Achse ist. Die x₁-Achse hat als Richtungsvektor $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$. Dies ist dann auch ein Normalenvektor der Ebene Ebene E_k. Damit müssen in der Normalenform der Ebene E_k die Koeffizienten von x₂ und x₃ gleich 0 sein, also k-2 = 0 und 2k+1 = 0. Dies ist gleichzeitig nicht möglich, denn dann müsste gleichzeitig k = 2 und k = -0,5 sein. Also ist keine der Scharebenen die x₂x₃-Ebene.

b) Eine Ebene ist Lotebene zur x₃-Achse, wenn der Richtungsvektor $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$ der x₃-Achse auch ein Normalenvektor der Ebene ist. Also muss für den Normalenvektor $\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ k-2 \\\ 2k+1 \end{array}\right)$ der Ebene E_k die erste und zweite Koordinate gleich 0 sein, was nicht möglich ist, da die erste Koordinate immer 1 ist.

c) Man setzt die Koordinaten der Geraden g: $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1+5m \\\ -2+2m \\\ -m \end{array}\right)$ in die Normalenform der Ebenengleichung ein.

Die Gleichung 1+5m + (k-2)(-2+2m) + (2k+1)(-m) = 5-2k vereinfacht man zu 0 = 0. Dies ist eine allgemeingültige Gleichung unabhängig von k, was hier bedeutet, dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar liegt.

d) Die Gerade h hat die Gleichung h: $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ -4 \\\ 1 \end{array}\right)+ k\left( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3 \end{array}\right)$. Die Ebene E₁ hat die Gleichung x₁ - x₂ + 3x₃ = 3.
Man setzt die Koordinaten der Geraden in die Normalenform der Ebenengleichung ein und erhält folgende Gleichung:

3k - (-4+6k) + 3(1-3k) = 3. Ihre Lösung ist k = 1/3 und der Schnittpunkt S(1;-2;0).