Abstands- und Winkelbestimmungen

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Die Hesseschen Normalenform (HNF)

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. $\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$.
Normiert man den Normalenvektoer $\vec{n}$, also $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$, dann erhält man einen Vektor $\vec{n}^o$, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor $\vec{n}$ und die Länge $\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1$ hat. Der Vektor $\vec{n}^o$ ist der Normaleneinheitsvektor.

Mit dem Vektor $\vec{n}^o$ erstellt man ebenso eine Normalenform $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
$\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0$

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ein Minuszeichen stehen!

  Aufgabe 1

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x₁+ x₂ - 2x₃ - 4 = 0
b) 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0

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a) $\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0$

b) $-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0$ Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF $\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0$

Wieso nun $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$?

Das hat eine anschauliche Bedeutung, die Sie in den nächsten zwei Aufgaben kennenlernen.

  Aufgabe 2

Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt $\vec{n} \circ \vec{a} = 4$, positiv.
Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Vektor $\vec{a}$ . Hier ist der Normalenvektor $\vec{n} = \vec{AP}$ .

Was stellen Sie fest?

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Die Ebene E teilt den Raum in zwei Halbräume. Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugten Halbraum zeigen. $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.

Die Festlegung $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.

  Aufgabe 3

Die Ebene 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0 ist die Ebene E aus Aufgabe 147/16. Für diese Ebene stellt sich die Situation so dar.

Was stellen Sie hier fest?

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Hier sieht man, dass die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in verschiedene durch die Ebene E erzeugten Halbräume zeigen. Ihr Zwischenwinkel ist > 90°. Also ist ihr Skalarprodukt negativ und in der Normalenform steht -(-45) = 45. Dann muss man für die HNF das Vorzeichen ändern, indem man vor den Bruch ein Minuszeichen schreibt. dies ist in Aufgabe 1 erfolgt.

Nun zur Normierung des Normalenvektors:

In diesem Bild ist ein Punkt P außerhalb der Ebene E gegeben. A ist in diesem Fall der Lotfußpunkt des Lotes von P auf E. (Den Lotfußpunkt erhält man, indem man von P aus in Richtung des Normalenvektors der Ebene E geht und den Schnittpunkt der Lotgeraden $l: \vec{x}=\vec{p} + k \vec{n}$ mit der Ebene E bestimmt.)

Geht man von A in Richtung P, so ist der Vektor $\vec{AP}=\vec{n}$ und der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand $\vert \vec{AP} \vert$. Normiert man den Normalenvektor so erhält man $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$ und es ist dann $\vec{AP}= \vert \vec{n} \vert \cdot\vec{n}^o$. Der Zahlenwert bei $\vec{n}^o$ gibt dann den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.

Nun ist $\vec{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ und damit $n = \vec{n}^o \circ \vec{} = \vec{n}^o \circ \vec{AP}=\vec{n}^o \circ \vec{p}-\vec{a}$, was dem Term in der HNF entspricht.
Dies war nun die Überlegung, wenn der Punkt P senkrecht zur Ebene E über dem Stützpunkt A liegt.

Was macht man, wenn dies nicht der Fall ist?

Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E.

Merke {{{1}}}

Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A.
Der Vektor $\vec{AP}$ und der Normalenvektor $\vec{n}$ schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor $\vec{AP}$ mit dem Normaleneinheitsvektor $\vec{n}^o$ einschließt.
Es ist dann

Das Skalarprodukt $\vec{n}^o \circ \vec{AP} = \vec{n}^o \circ (\vec{P}-\vec{a})$ gibt nun an wie oft die Projektion des Vektors $\vec{n}^o$ in den Vektor $\vec{AP}$ passst