Abstands- und Winkelbestimmungen

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Wie man auf die Die Hesseschen Normalenform (HNF) kommt soll nun erklärt werden.

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. $\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$.
Normiert man den Normalenvektoer $\vec{n}$, also $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$, dann erhält man einen Vektor $\vec{n}^o$, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor $\vec{n}$ und die Länge $\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1$ hat. Der Vektor $\vec{n}^o$ ist der Normaleneinheitsvektor.

Mit dem Vektor $\vec{n}^o$ erstellt man ebenso eine Normalenform $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
$\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0$

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ein Minuszeichen stehen!

  Aufgabe 1

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x₁+ x₂ - 2x₃ - 4 = 0
b) 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0

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a) $\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0$
b) $-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0$

Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF $\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0$

Wieso nun $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$?

Das hat eine anschauliche Bedeutung, die Sie in den nächsten zwei Aufgaben kennenlernen.

  Aufgabe 2

Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt $\vec{n} \circ \vec{a} = 4$, positiv.
Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Vektor $\vec{a}$ . Hier ist der Normalenvektor $\vec{n} = \vec{AP}$ .

Was stellen Sie fest?

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Die Ebene E teilt den Raum in zwei Halbräume. Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugten Halbraum zeigen. $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.

Die Festlegung $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.

  Aufgabe 3

Die Ebene 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0 ist die Ebene E aus Aufgabe 147/16. Für diese Ebene stellt sich die Situation so dar.

Was stellen Sie hier fest?

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Hier sieht man, dass die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in verschiedene durch die Ebene E erzeugten Halbräume zeigen. Ihr Zwischenwinkel ist > 90°. Also ist ihr Skalarprodukt negativ und in der Normalenform steht -(-45) = 45. Dann muss man für die HNF das Vorzeichen ändern, indem man vor den Bruch ein Minuszeichen schreibt. dies ist in Aufgabe 1 erfolgt.

Nun zur Normierung des Normalenvektors:

In diesem Bild ist ein Punkt P außerhalb der Ebene E gegeben. A ist in diesem Fall der Lotfußpunkt des Lotes von P auf E. (Den Lotfußpunkt erhält man, indem man von P aus in Richtung des Normalenvektors der Ebene E geht und den Schnittpunkt der Lotgeraden $l: \vec{x}=\vec{p} + k \vec{n}$ mit der Ebene E bestimmt.)

Geht man von A in Richtung P, so ist der Vektor $\vec{AP}=\vec{n}$ und der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand $\vert \vec{AP} \vert$. Normiert man den Normalenvektor so erhält man $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$ und es ist dann $\vec{AP}= \vert \vec{n} \vert \cdot\vec{n}^o$. Der Zahlenwert bei $\vec{n}^o$ gibt dann den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.

Nun ist $\vec{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ und damit $n = \vec{n}^o \circ \vec{} = \vec{n}^o \circ \vec{AP}=\vec{n}^o \circ \vec{p}-\vec{a}$, was dem Term in der HNF entspricht.
Dies war nun die Überlegung, wenn der Punkt P senkrecht zur Ebene E über dem Stützpunkt A liegt.

Was macht man, wenn dies nicht der Fall ist?

Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E.

Merke: Der Abstand eines Punktes P von der Ebene E ist $d(P;E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert$. Man erhält den Abstand, indem man in der Hesseschen Normalform den Ortsvektor $\vec{x}$ durch den Ortsvektor $\vec{p}$ des Punktes P ersetzt.

Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A.
Der Vektor $\vec{AP}$ und der Normalenvektor $\vec{n}$ schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor $\vec{AP}$ mit dem Normaleneinheitsvektor $\vec{n}^o$ einschließt.
Es ist also $\vec{n} \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n} \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi$ und $\vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n}^o \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi$ mit gleichem Winkel $\varphi$ in beiden Formeln.
Ist L der Lotfußpunkt des Lotes von P auf die Ebene E, dann gilt im rechtwinkligen Dreieck ALP $\vert \vec{LP} = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi$.

Es ist also $d(P,E)= \vert \vec{LP} \vert = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi =\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert$

Bemerkungen:

1. Da für den Abstand $d(P;E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert$ des Punktes P von der Ebene E ein Betrag die Rechnung bestimmt sind die Überlegungen zu $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ bedeutungslos, da es für die Abstandsberechnung egal ist ob man von $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert}$ oder von $-\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= -\frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert}$ den Betrag nimmt.

2. Lässt man beim Abstand $d(P;E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert$ des Punktes P von der Ebene E die Betragsstriche weg, also $d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})$ erhält man noch mehr Informationen.

Für die Abstandsberechnung wird die HNF $\vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})=0$ vorausgesetzt, also $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$. Wenn mann dann die richtige HNF hat, statt $\vec{x}$ $\vec{p}$ in $d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})$ einsetzt und den Abstand des Punktes P von der Ebene E mit $d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})$ berechnet, dann kann d(P,E) auch negative Werte annehmen. Dabei bedeutet
d(P,E) > 0, dass P und der Ursprung O in verschiedenen Halbräumen des durch E geteilten Raumes liegen.
d(P,E) = 0, dass P in E liegt. d(P,E) < 0, dass P und der Ursprung O im gleichen Halbraum liegen.