Hessesche Normalenform

Wie man auf die Die Hesseschen Normalenform (HNF) kommt soll erklärt werden.

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. $\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$.
Normiert man den Normalenvektoer $\vec{n}$, also $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$, dann erhält man einen Vektor $\vec{n}^o$, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor $\vec{n}$ und die Länge $\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1$ hat. Der Vektor $\vec{n}^o$ ist der Normaleneinheitsvektor.

Mit dem Vektor $\vec{n}^o$ erstellt man ebenso eine Normalenform $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
$\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0$

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ein Minuszeichen stehen!

  Aufgabe 1

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x₁+ x₂ - 2x₃ - 4 = 0
b) 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0

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a) $\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0$
b) $-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0$

Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF $\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0$

Wieso nun $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$?

Das hat eine anschauliche Bedeutung, die Sie in den nächsten zwei Aufgaben kennenlernen.

  Aufgabe 2

Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt $\vec{n} \circ \vec{a} = 4$, positiv.
Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Vektor $\vec{a}$ . Hier ist der Normalenvektor $\vec{n} = \vec{AP}$ .

Was stellen Sie fest?

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Die Ebene E teilt den Raum in zwei Halbräume. Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugten Halbraum zeigen. $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.

Die Festlegung $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.

  Aufgabe 3

Die Ebene 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0 ist die Ebene E aus Aufgabe 147/16. Für diese Ebene stellt sich die Situation so dar.

Was stellen Sie hier fest?

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Hier sieht man, dass die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in verschiedene durch die Ebene E erzeugten Halbräume zeigen. Ihr Zwischenwinkel ist > 90°. Also ist ihr Skalarprodukt negativ und in der Normalenform steht -(-45) = 45. Dann muss man für die HNF das Vorzeichen ändern, indem man vor den Bruch ein Minuszeichen schreibt. dies ist in Aufgabe 1 erfolgt.

Nun zur Normierung des Normalenvektors:

In diesem Bild ist ein Punkt P außerhalb der Ebene E gegeben. A ist in diesem Fall der Lotfußpunkt des Lotes von P auf E. (Den Lotfußpunkt erhält man, indem man von P aus in Richtung des Normalenvektors der Ebene E geht und den Schnittpunkt der Lotgeraden $l: \vec{x}=\vec{p} + k \vec{n}$ mit der Ebene E bestimmt.)

Geht man von A in Richtung P, so ist der Vektor $\vec{AP}=\vec{n}$ und der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand $\vert \vec{AP} \vert$. Normiert man den Normalenvektor so erhält man $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$ und es ist dann $\vec{AP}= \vert \vec{n} \vert \cdot\vec{n}^o$. Der Zahlenwert bei $\vec{n}^o$ gibt dann den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.

Nun ist $\vec{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ und damit $n = \vec{n}^o \circ \vec{} = \vec{n}^o \circ \vec{AP}=\vec{n}^o \circ \vec{p}-\vec{a}$, was dem Term in der HNF entspricht.
Dies war nun die Überlegung, wenn der Punkt P senkrecht zur Ebene E über dem Stützpunkt A liegt.

Was macht man, wenn dies nicht der Fall ist?

Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E.

Merke: Der Abstand eines Punktes P von der Ebene E ist $d(P,E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert$. Man erhält den Abstand, indem man in der Hesseschen Normalform den Ortsvektor $\vec{x}$ durch den Ortsvektor $\vec{p}$ des Punktes P ersetzt.

Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A.
Der Vektor $\vec{AP}$ und der Normalenvektor $\vec{n}$ schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor $\vec{AP}$ mit dem Normaleneinheitsvektor $\vec{n}^o$ einschließt.
Es ist also $\vec{n} \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n} \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi$ und $\vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n}^o \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi$ mit gleichem Winkel $\varphi$ in beiden Formeln.
Ist L der Lotfußpunkt des Lotes von P auf die Ebene E, dann gilt im rechtwinkligen Dreieck ALP $\vert \vec{LP} = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi$.

Es ist also $d(P,E)= \vert \vec{LP} \vert = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi =\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert$

Bemerkungen:

1. Da für den Abstand $d(P,E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert$ des Punktes P von der Ebene E ein Betrag die Rechnung bestimmt sind die Überlegungen zu $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ bedeutungslos, da es für die Abstandsberechnung egal ist ob man von $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert}$ oder von $-\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= -\frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert}$ den Betrag nimmt.

2. Lässt man beim Abstand $d(P;E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert$ des Punktes P von der Ebene E die Betragsstriche weg, also $d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})$ erhält man noch mehr Informationen.

Für die Abstandsberechnung wird die HNF $\vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})=0$ vorausgesetzt, also $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$. Wenn mann dann die richtige HNF hat, statt $\vec{x}$ $\vec{p}$ in $d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})$ einsetzt und den Abstand des Punktes P von der Ebene E mit $d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})$ berechnet, dann kann d(P,E) auch negative Werte annehmen. Dabei bedeutet
d(P,E) > 0, dass P und der Ursprung O in verschiedenen Halbräumen des durch E geteilten Raumes liegen.
d(P,E) = 0, dass P in E liegt. d(P,E) < 0, dass P und der Ursprung O im gleichen Halbraum liegen.
Die Hessesche Normalenform liefert also Informationen zum Abstand und zur Lage eines Punktes P zu der Ebene E.

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