Abstands- und Winkelbestimmungen

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Die Hessesche Normalenform (HNF)

  Aufgabe

Bearbeiten Sie im Buch auf S. 152 die obersten drei Beispiele zu
a) Abstand d(P,E) eines Punktes P zur Ebene E
b) Abstand d(g,E) einer zur Ebenen E echt parallelen Geraden
c) Abstand d(E₁,E₂) zweier echt parallelen Ebenen.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Lösungen sind im Buch ausführlich dargestellt.

Zur Berechnung des Abstands können Sie wegen der 1. Bemerkung auf der Seite zur Hessenschen Normalenform das Minuszeichen weglassen. Es ist egal, ob $\vec{n}\circ\vec{a}$ positiv oder negativ ist. Man berechnet den Abstand und falls d(P,E)<0 ist, nehmen Sie einfach den Betrag des erhaltenen Wertes.

Merke: Der (spitze oder rechte) Schnittwinkel $\varphi$ zweier Geraden $g: \vec{x} = \vec{a} + r \vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{b} + r \vec{v}$ ist gegeben durch $cos\varphi=\vert \frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{v}\vert}\vert$

  Aufgabe

Bearbeiten Sie im Buch auf S. 153 das erste Beispiel.

Merke: Der (spitze oder rechte) Schnittwinkel $\varphi$ einer Geraden $g: \vec{x} = \vec{a} + r \vec{u}$ und einer Ebene $E: \vec{n} \circ(\vec{x} - \vec{a})=0$ ist gegeben durch $sin\varphi=\vert \frac{\vec{u}\circ\vec{n}}{\vert\vec{u}\vert\cdot\vert\vec{n}\vert}\vert$

  Aufgabe

Bearbeiten Sie im Buch auf S. 153 das zweite Beispiel

Merke: Der (spitze oder rechte) Schnittwinkel $\varphi$ zweier Ebenen $E_1: \vec{n_1} \circ(\vec{x} - \vec{a_1})=0$und einer Ebene $E_2: \vec{n_2} \circ(\vec{x} - \vec{a_2})=0$ ist gegeben durch $cos\varphi=\vert \frac{\vec{n_1}\circ\vec{n_2}}{\vert\vec{n_1}\vert\cdot\vert\vec{n_2}\vert}\vert$

  Aufgabe

Bearbeiten Sie im Buch auf S. 153 das dritte Beispiel.