Das Fadenpendel

Im Gegensatz zum Federpendel (meist hat man ja keine Feder zuhause) kannst du ein Fadenpendel leicht daheim selbst anfertigen.
Ein Fadenpendel besteht aus einem Körper, der an einem befestigten Faden aufgehängt ist. Der Pendelkörper wird um ein kleines Stück aus der Ruhelage ausgelenkt und dort losgelassen.

Beim mathematischen Pendel handelt es sich um ein idealisiertes Pendel, ein "punktförmiger" Pendelkörper hängt an einem masselosen Seil oder Stange.

Aufgabe

1. Beschreibe die Energien, die beim Fadenpendel auftreten.
2. Ein 1m langes Fadenpendel (Masse des Pendelkörpers m = 100g) wird um 20° ausgelenkt. Auf welche Höhe h über der Ruhelage ist das Pendel? Wie groß ist seine Lageenergie gegenüber der Ruhelage?
c)Das Pendel wird losgelassen. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt es sich durch die Ruhelage?

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Ist das Pendel ausgelenkt, so hat es Lageenergie. Lässt man es los, dann wird die Lageenergie in Bewegungsenergie umgewandelt. Passiert der Pendelkörper die Ruhelage, dann hat man keine Lageenergie und die Bewegungsenergie ist maximal. Bei der weiteren Bewegung wird nun die Bewegungsenergie wieder in Lageenergie umgewandelt. Im Umkehrpunkt hat der Körper wieder maximale Lageenergie und keine Bewegungsenergie.
b) h = 1m - 1m·cos(10°) = 0,06m = 6cm. E_L = mgh = 0,1kg·9,8N/kg·0,06m=0,0588J
Falls du nicht weißt wie du auf h kommst, in diesem Film wird es erklärt.

c) Nach dem Energieerhaltungssatz ist E_B = E_L = 0,0588J, also $E_B = \frac{1}{2}mv^2$ und $v = \sqrt{\frac{2E_B}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot0,0588J}{0,1kg}}=1,084\frac{m}{s^2}$ .

Aufgabe

Welche Kräfte wirken auf einen ausgelenkten Pendelkörper?

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Auf einen ausgelenkten Pendelkörper wirken die Gewichtskraft, die Haltekraft des Seils und die Tangentialkraft. Die Tangentialkraft ist die rücktreibende Kraft, die das Pendel wieder in die Ruhelage bringen will.

Aufgabe

Schaue dir diesen Film an

1. Was ist beim Fadenpendel die Schwingungsdauer T?
2. Welche Faktoren können die Schwingungsdauer
3. Wie wurde in dem Video gemessen und was war das Ergebnis?
4. Wie lautet die Formel für die Schwingungsdauer T eines Fadenpendels der Länge l für Auslenkwinkel < 10°?

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1. Die Schwingungsdauer T ist die Zeit die vergeht, wenn der Pendelkörper losgelassen wird bis er wieder an dieser Stelle ist.
2. Länge des Pendels, Masse des Pendelkörpers, Auslenkwinkel
3. a) Verschiedene Auslenkwinkel, Masse und Länge bleiben gleich. Die Schwingungsdauer ist immer gleich.
b) Verschiedene Masse, Pendellänge und Auslenkwinkel bleiben gleich. Die Schwingungsdauer ist immer gleich.
c) Verschiedene Pendellängen, Masse und Auslenkwinkel bleiben gleich. Bei Veränderung der Länge l verändert sich auch die Schwingungsdauer. Je Länger das Pendel ist, desto größer ist die Schwingungsdauer.

d) $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Merke:

Je kürzer das Pendel desto kürzer ist die Schwingungsdauer

Dei Schwingungsdauer T eines Fadenpendels der Länge l ist $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Die Schwingungsdauer ist von der Masse des Pendelkörpers unabhängig, ebenso für Auslenkwinkel < 10^.

Um dieses qualitative Ergebnis zu verifizieren, analysieren wir die Bewegung. Dazu legen wir ein Koordinatensystem in die Ruheposition.

Die Kraft F ist Kathete im Kräftedreieck und es ist $F = G\cdot sin(\varphi)$ .
Für kleine Winkel $\varphi$ gilt $sin \varphi \approx \alpha$ .

Aufgabe

In diesem Diagramm sind die Graphen der Sinusfunktion f :x → sin(x) und der Idendität g: x → x dargestellt.

Was stellst du in der Nähe des Ursprungs fest? Was kannst du über die zwei Graphen bzw. deren Funktionen dort aussagen?

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In der Nähe des Ursprungs verlaufen die zwei Graphen übereinanderliegend. Die beiden Graphen fallen dort zusammen. Die Funktionswerte von sin(x) und x sind gleich.

Aufgabe

Um die letzte Aussage näher zu untersuchen ist in der Nähe des Ursprung das Diagramm vergrößert.

a) Lies aus dem Diagramm ab für welche x gilt: sin(x) = x (Die beiden Graphen liegen aufeinander.)
b) x ist eine Zahl, als Argument des Sinus ein Argument im Bogenmaß. Rechne x = 0,2 ins Gradmaß um.
c) Formuliere deine Ergebnisse.

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a) Es ist sin(x) = x für -0,2 ≤ x ≤ x.
b) x = 0,2 wird mittels $\varphi = \frac{x}{\pi}\cdot 180^o$ , also $\varphi= \frac{0,2}{\pi}\cdot 180^o = 11,5^o$ .

c) Für -0,2 < x < 0,2 ist sin(x) ≈ x . Für die Auslenkung eines Fadenpendels bedeutet dies, dass für Winkel $\varphi \leq 10^o$ gilt $sin(\varphi) \approx \varphi$

Merke:

Kleinwinkelnäherung

Für x < 0,2 gilt sin(x) ≈ x bzw. für Winkel $\varphi \leq 10^o$ gilt $sin(\varphi) \approx \varphi$ .

Aufgabe

Welche Beziehung besteht in dieser Zeichnung

zwischen x, l und $\varphi$ ?

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Die Bogenlänge x lässt sich mit der Länge l und dem Auslenkwinkel $\varphi$ berechnen zu $\varphi$ gilt $x = \varphi \cdot l$ .

Also ist $\varphi = \frac{x}{l}$ .

Für die rücktreibende Kraft F hatten wir aus dem Kräftedreieck $F=G\cdot sin(\varphi)$ . Ersetzt man $\varphi$ durch $\frac{x}{l}$ , dann erhält man $F=G \cdot \frac{x}{l}$ .

Nun müssen wir noch die Richtungen berücksichtigen.
Wird das Pendel nach rechts (x>0) ausgelenkt, dann wirkt die Kraft F_H nach links, wird der Körper nach links ausgelenkt (x<0), wirkt die Kraft F_H nach rechts. In beiden Fällen ist die Kraft entgegengesetzt zu x gerichtet, sie wirkt also entgegen der Orientierung des Koordinatensystems.

Merke:

Für die rücktreibende Kraft F beim Fadenpendel gilt bei Auslenkungen ≤ 10°

$F=-G \cdot \frac{x}{l}$

Die rücktreibende Kraft F ist also direkt proportional zur Auslenkung x.

Man hat also beim Fadenpendel ein Kraftgesetz, das wie beim Federpendel besagt, dass die rücktreibende Kraft direkt proportional zur Auslenkung ist mit $F=-\cdot \frac{G}{l}\cdot x$ . Schaue dir als Zusammenfassung dieses Video an:

.

Aufgabe

Vergleiche das die rücktreibende Kraft des Federpendels mit der rücktreibenden Kraft der Fadenpendels.

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Federpendel F = - D·s
Fadenpendel $F=-\frac{G}{l}\cdot x$
Beide rücktreibende Kräfte sind entgegensetzt zur Auslenkung, daher das Minuszeichen, welches die Richtung im Koordinantensystem angeibt

Der Federkonstante D beim Federpendel entspricht der Quotient $\frac{G}{l}$ beim Fadenpendel.

Löst man F = m·a nach a auf, so erhält man für die Beschleunigung a beim Fadenpendel $a=\frac{F}{m}=-\frac{\frac{m\cdot g}{l}}{m}\cdot x = - \frac{g}{l}\cdot x$ .
Beim Federpendel hatten wir auch eine Gleichung für die Beschleunigung = - Konstante mal Auslenkung. Eine solche Schwingung ist eine harmonische Schwingung.

Merke:

Das Fadenpendel macht für kleine Auslenkungen eine harmonische Schwingung.

Durch Vergleich bei den Schwingungen hatte man $\omega^2$ = Konstante der bei der Beschleunigung. Das bedeutet hier
$\omega^2 = \frac{g}{l}$ . Für die Schwingungsdauer T erhält man wegen $T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{l}}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ . Das ist die Formel, die im Video aufgestellt wurde.

Merke:

Für die Schwingungsdauer einer Fadenpendels bei kleinen Auslenkungen gilt

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ .

Übung

Überprüfe die Gleichung $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ auf der Seite, indem du die Werte von l, m, A, f (immer nur einen Wert variieren!) veränderst und T im Diagramm abliest.
Verdoppele bzw. halbiere die Pendellänge l.
Verdoppele bzw. halbiere die Masse m des Pendelkörpers.
Verdoppele bzw. halbiere die Auslenkung
Verdoppele bzw. halbiere die Fallbeschleunigung g.
Was passiert mit den einzelnen Größen, wenn man die Amplitude verdoppelt bzw. halbiert.

Aufgabe

Ein Sekundenpendel ist ein Pendel, das für eine Halbschwingung genau eine Sekunde benötigt.
a) Wie groß ist die Schwingungsdauer T eines Sekundenpendels?
b) Bestimme die Länge l des Sekundenpendels.
c) Welche Schwingungsdauer hat ein Pendel der Länge l = 1m?
Nach wie vielen Schwingungen geht das Pendel 1min gegenüber dem Sekundenpendel nach?
Wie lange schwingt das Pendel dabei?

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a) Eine Halbschwingung dauert 1s, also ist T = 2s.
b) $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ formt man um $l = \frac{g\cdot T^2}{4\pi^2}$ . Damit ist $l = \frac{9,8 \frac{m}{s^2} \cdot (2s)^2}{4 \cdot \pi^2} = 0,993m$
c) $T = 2\pi\sqrt{\frac{1m}{9,8\frac{m}{s^2}}} = 2,007s$
n·0,007s = 60s, n = 8571,43

Nach 8571,43 Schwingungen ist die Zeit t = 17142,86s = 4h 45min 32s vergangen.