Wiederholung und Aufgaben zu Schwingungen

  Aufgabe

Schaue dir zur Wiederholung das anfangs genannte Video

vollständig an.
a) Welche andere Bezeichnung gibt es für Amplitude?
b) Wodurch ist die Ruhelage ausgzeichnet?
c) Warum bewegt sich die Kugel bei einer Schwingung durch die Ruhelage?
d) Welche Aussage kannst du über die Beschleunigung der Kugel bei einer Federschwingung treffen?
Was bedeutet das für den Quotienten $\frac{a}{s}$?
Wie heißt eine solche Schwingung?
e) Benenne die Bewegungsgleichungen für eine harmonische Schwingung, wenn der Körper nach oben ausgelenkt und zur Zeit t = 0s im oberen Umkehrpunkt losgelassen wird.
Gib die Bewegungsgleichungen auch für den konkreten Fall einer Schwingung mit s₀ = 0,1m und T = 2s an und zeichne ein ts-Diagramm.
f) Für eine harmonische Schwingung gilt ein besonderes Kraftgesetz. Benenne es und erkläre es am Beispiel des Federpendels.

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a) Scheitelwert
b) In der Ruhelage wirkt keine resultierende Kraft auf die Kugel.
Die Ruhelage ist die Lage in die der Körper bei einer gedämpften Schwingung zur Ruhe kommt.
c) Aufgrund ihrer Trägheit bewegt sich die Kugel im Verlauf einer Schwingung durch die Ruhelage weiter.
d) Bei einer Federschwingung ist die Beschleunigung $a =\frac{F}{m}=\frac{-DS}{m}$
Der Quotient $\frac{a}{s}=-\frac{D}{m}$ ist konstant, da sich bei der Schwingung D und m nicht ändern. Also ist die Beschleunigung a direkt proportional zur Auslenkung s.
Eine solche Schwingung heißt harmonische Schwingung.
e) $s(t) = s_0 \cdot cos(\omega \cdot t)$, dabei ist s₀ die Amplitude der Schwingung und $\omega = \frac{2\pi}{T}$ die Winkelgeschwindigkeit und T die Schwingungsdauer. Zum Zeitpunkt t = 0s befindet sich der Pendelkörper im oberen Scheitelpunkt und wird dort losgelassen.
$v(t) = - s_0 \cdot \omega \cdot sin(\omega \cdot t)$
$a(t) = - s_0 \cdot \omega^2 \cdot cos(\omega \cdot t)$
Für s₀ = 0,1m und T = 2s ist $\omega = \frac{2\pi}{2s}=\pi \frac{1}{s}$ und

$s(t) = 0,1m \cdot cos(\pi \frac{1}{s} \cdot t)$ 

$v(t) = - 0,1m \cdot \pi \frac{1}{s} \cdot sin(\pi \frac{1}{s} \cdot t)$

$a(t) = - 0,1m \cdot \pi^2 \frac{1}{s^2} \cdot cos(\pi \frac{1}{s} \cdot t)$

Beachte, dass das Minuszeichen die Richtung angibt!

f) Bei einer harmonischen Schwingung gilt ein lineares Kraftgesetz. Das heißt, dass die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung s ist. Es ist $F \sim s$

Bei einer Feder gilt das Hookesche Gesetz $F = - D\cdot s$. D ist die Federkonstante, die für eine bestimmte Feder konstant ist. Also ist $F \sim s$ oder $\frac{F}{s} = -D$, was ein Kennzeichen einer direkten Proportionalität ist. Das Minuszeichen bei D bedeutet, dass die Richtung der Kraft F entgegengesetzt der Auslenkung s ist. Es handelt sich also um eine rücktreibende Kraft, die immer versucht den Körper wieder in die Ruhelage zu bringen.

Und nun noch ein paar Aufgaben aus dem Buch.

S. 91/3

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a9 in 1s gibt es 2,5 Schwingungen, also $T=\frac{t}{n}=\frac{1s}{2,5}=0,4s$.
Die Frequenz f ist $f = \frac{1}{T}=\frac{1}{0,4s} = 2,5$. (Das hat man ja eigentlich schon gerade aus dem Diagramm abgelesen.)
Die 100. Schwingung ist nach t = 100 ·0,4s = 40s erfolgt.
In einer Minute finden $n = \frac{t}{T}=\frac{60s}{0,4s}=150$ Schwingungen statt.

b)
Das Wägestück ist am schnellsten, wenn es sich durch die Ruhelage bewegt.

Man kann es auch berechnen. Es ist $\omega=\frac{2\pi}{T}=15,7\frac{1}{s}$ und $v(t)= -0,92\frac{m}{s}\cdot sin(15,7\frac{1}{s}\cdot t)$

c)
Es scheint das tx-Diagramm an der x-Achse gespiegelt zu sein. Es ist im ta-Diagramm ein -cos !

d)Das Wägestück hat die betragsmäßig größte Beschleunigungen in den Umkehrpunkten oben und unten.
Unten ist die Beschleunigung am größten, da sie dort positiv ist (sie geht nach oben in positive x-Richtung).
Die beschleunigende Kraft F unten ist F= m·a = 0,1kg ·15 m/s² = 1,5N und oben F = -1,5N.

e) Die Federkonstante D ist durch $D=\frac{F}{s}$ gegeben. Setzt man F = 1,5N und s = 0,06m ein ergibt sich $D=\frac{1,6N}{0,06m}=25\frac{N}{m}$

S. 92/2

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F = D·s, also $s=\frac{F}{D}=\frac{0,5kg\cdot 9,8\frac{m}{s^2}}{25\frac{N}{m}}=0,196m \approx 0,2m$

b) Die Beschleunigung ist beim Durchgang durch die Ruhelage $0\frac{m}{s^2}$.

In den Umkehrpunkten ist die Beschleunigung $a=\frac{F}{m}=\frac{D\cdot s}{m}=\frac{25\frac{N}{m} \cdot 0,05m}{0,5kg} =2,5\frac{m}{s^2}$

S. 92/3

{{Lösung versteckt|1=1° entspricht 0,017; 10° entspricht 0,175; 15° entspricht 0,262; 90° entspricht 1,57;
0,1 entspricht 5,7°; 0,5 entspricht 28,6°; $\frac{1}{3} \pi$ entspricht 60°; $\frac{1}{2} \pi$ entspricht 90°.

b) Es ist $s = l\cdot \varphi = 67m \cdot \varphi$ wobei der Winkel