M8-Rechnen mit Bruchtermen

--Karl Haberl, Reichsstadt-Gymnasium Rothenburg o.d.T. (Diskussion) 10:56, 19. Apr. 2020 (CEST)Wir haben uns mit gebrochen-rationalen Funktionen beschäftigt. Terme dieser Funktionen sind im Normal Bruchterme. In der 6. Klasse hast du gelernt mit Brüchen zu rechnen. Da kamen in Zähler und Nenner des Bruches nur Zahlen vor. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht auch die Variable im Nenner, eventuell auch im Zähler. Daher müssen wir auch mit Brüchen arbeiten können, wenn Variable oder Parameter in Zähler und/oder Nenner vorkommen.

Zur Festigung deiner Grundkenntnisse wollen wir zuerst einiges vom Stoff der 6. und 7. Klasse wiederholen.

  Aufgabe 1

Bearbeite auf der Seite von Mathegym die Arbeitsaufträge
1. Wiederholung 6. Klasse: Bruchrechnen

Damit du dich erinnerst wie Bruchrechnen geht, schaue dir vorher dieses Video an:

2. Wiederholung 7. Klasse: Terme - Distributivgesetz - ausklammern
3. Wiederholung 7. Klasse: Terme - Distributivgesetz - Klammern auflösen I

  Aufgabe 2

Drucke dir dieses Arbeitsblatt aus und bearbeite es.

Am Ende des letzten Arbeitsblatts steht: Mit Bruchtermen kann man wie mit Brüchen rechnen.
Beispiele sind auf dem Blatt angegeben.

Erkläre die Beispiele zum Rechnen mit Bruchtermen auf dem Arbeitsblatt unten.

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Erweitern: Der erste Bruch wird mit x, der zweite Bruch mit 5 erweitert, d.h. Zähler und Nenner werden mit x bzw. 5 multipliziert. Wenn Zähler oder Nenner eine Summe oder Differenz sind, dann setze sie in Klammern und multipliziere die Klammer!
Kürzen: Bei den Termen in Zähler und Nenner kann man jeweils x ausklammern. Der Rest bleibt kommt in Klammern. Stehen in Zähler und Nenner gleiche Faktoren, so kann man diese kürzen.
Addition: Brüche muss man beim Addieren oder Subtrahieren gleichnamig machen. Dies passiert hier, indem man die beiden Nenner multipliziert. Das ist dann der Hauptnenner. Haben beide Brüchen denselben Nenner, dann addiert bzw. subtrahiert man ihre Zähler und fasst zusammen.
Multiplikation: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler mulitpliziert und ihre Nenner multiziert.
Dann vereinfacht man den Zähler. Den Nenner lässt man so stehen, man multipliziert nicht aus. Man sieht dann leichter ob man noch kürzen kann.

Division: Man teilt durch einen Bruch, indem man seinen Kehrbruch multipliziert.

Merke Mit Bruchtermen kann man wie mit Brüchen rechnen. Dabei kann man Brüche bzw. Bruchterme Erweitern, Kürzen, Addieren bzw. Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren. Beachte: Aus Summen und Differenzen kürzen wir nicht!

  Aufgabe 3

Schau dir das 1. Beispiel (die ersten 5 Minuten) dieses Videos an.

Merke: 1. Erweitern und Kürzen Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruchterms mit der gleichen Zahl bzw. mit dem gleichen Term multipliziert. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner eines Bruchtermt durch die gleiche Zahl bzw. den gleichen Term dividiert. 2. Addition und Subtraktion Gleichnamie Bruchterme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert bzw. subtzrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. Ungleichnamige Bruchterme muss man vor dem Addieren bzw. Subtrahieren gleichnamig machen. 3. Multiplikation und Division Bruchterme werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner teilt. Bruchterme werden dividiert, indem man den erstsen Bruchterm mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchterms multipliziert.

Beipiele:

1. Erweitern: $\frac{5}{x+1}=\frac{5x}{x(x+1)}$
Der Bruch wurde mit x erweitert, d.h. Zähler und Nenner werden mit x multipliziert. Beachte dabei, dass du den Nenner x+1 in Klammern setzt, denn der ganze Nenner wird mit x multipliziert.

Kürzen: $\frac{5x}{x(x+1)}=\frac{5}{x+1}$
Der Bruch wurde mit x gekürzt.Im Nenner steht ein Produkt, dessen 1. Faktor x ist. Man darf kürzen, wenn in Zähler und Nenner Produkte stehen.
$\frac{5+x}{x(x+1)}$ kann man nicht kürzen, da im Zähler eine Summe steht, die sich nicht durch Ausklammern in ein Produkt verwandeln lässt.
$\frac{5x+x^2}{x(x+1)}=\frac{x(5+x)}{x+1}=\frac{5+x}{x+1}$
Hier kann man im Zähler x ausklammern, dann stehen in Zähler und Nenner Produkte, die jeweils x als Faktor haben. Dieses x darf man nun kürzen. Der verbleibende Bruch ist nicht weiter kürzbar! In Zähler und Nenner kommt zwar jeweils x vor, aber x steht in einer Summe und aus Summen kürzt man nicht!

Übung

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Darf man $\frac{5}{5x}$ kürzen? (ja) (!nein)

Darf man $\frac{x-5}{5x}$ kürzen? (!ja) (nein)

Darf man $\frac{x^2}{5x}$ kürzen? (ja) (!nein)

Darf man $\frac{2-x^2}{2-x}$ kürzen? (!ja) (nein)

Darf man $\frac{4-x^2}{2-x}$ kürzen? (ja) (!nein)

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a) 5 ist gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner.
b) Im Zähler steht eine Differenz aus der man "nichts" ausklammern kann.
c)x ist gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner. $x^2=x\cdot x$
d) In Zähler und Nenner stehen Differenzen, aus denen man nichts ausklammern kann.

e) Der Term im Zähler 4 - x² lässt sich umformen in 4 - x² = (2-x)(2+x) und dann kann man 2-x kürzen.

2. Addition und Subtraktion: $\frac{17}{x+1}-\frac{11}{x+1}=\frac{17-11}{x+1}=\frac{6}{x+1}$
Die Brüche sind gleichnamig, dann kann man gleich die Zähler addieren bzw. subtrahieren.

$\frac{17}{x}-\frac{11}{x+2}=\frac{17(x+2)}{x(x+2)}-\frac{11x}{x(x+2)}=\frac{17(x+2)-11x}{x(x+2)}=\frac{17x+34-11x}{x(x+2)}=\frac{6x+34}{x(x+2)}$
Hier muss man für die zwei Brüche erst einen gleichen Nenner finden. Dazu wird der erste Bruch wird mit x+2 (=Nenner des 2. Bruches) erweitert, der zweite Bruch mit x (=Nenner des 1. Bruches). Wenn man gleiche Nenner hat, dann kann man die Zähler addieren bzw. subtrahieren und zusammenfassen bzw. vereinfachen. Im Nenner lässt man das Produkt stehen!

3. Multiplikation: $\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x-3}{x+1}=\frac{x(x-3)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x^2-3x}{(x-2)(x+1)}$
Beim Multiplizieren werden die Zähler und die Nenner jeweils miteinander multipliziert. Den Zähler vereinfacht man noch. Im Nenner lässt man das Produkt stehen.

Division: $\frac{x}{x-2}: \frac{x-3}{x+1}=\frac{x}{x-2}\cdot \frac{x+1}{x-3}=\frac{x(x+1)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x^2+x}{(x-2)(x-3)}$
Beim zweiten Bruch wird der Kehrbruch gebildet, indem man Zähler und Nenner vertauscht. Der Zähler des Bruches wird zum Nenner des Kehrbruches, der Nenner des Bruches wird zum Zähler des Kehrbruches. Dann wird der 1. Bruch mit dem Kehrbruch des 2. Bruches multiplliziert, der Zähler vereinfacht und im Nenner bleibt das Produkt stehen.

  Aufgabe 4

Erweitern: Buch S. 120/1,2
Kürzen: Buch S. 120/3
Lass die Nenner als Produkt stehen!

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120/1
$\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}=\frac{-1}{-x}=\frac{x}{x^2}=\frac{x^2}{x^3}=\frac{2-x}{x(2-x)}=\frac{1-x^2}{x(1-x^2)}$
Zähler und Nenner werden jeweils mit dem Erweiterungsfaktor, der in den Aufgaben a) - f) gegeben ist multipliziert.
$\frac{6}{x}=\frac{12}{2x}=\frac{-6}{-x}=\frac{6x}{x^2}=\frac{6x^2}{x^3}=\frac{12-6x}{x(2-x)}=\frac{6-6x^2}{x(1-x^2)}$
$\frac{x-1}{x}=\frac{2x-2}{2x}=\frac{-x+1}{-x}=\frac{x^2-x}{x^2}=\frac{x^3-x^2}{x^3}=\frac{(2-x)(x-1)}{x(2-x)}=\frac{(1-x^2)(x-1)}{x(1-x^2)}$
$\frac{1}{2-x}=\frac{2}{2(2-x)}=\frac{-1}{-2+x}=\frac{x}{2x-x^2}=\frac{x^2}{2x^2-x^3}=\frac{2-x}{(2-x)^2}=\frac{1-x^2}{(2-x)(1-x^2)}$

120/2
Den Erweiterungsfaktor erhältst du, wenn du den in eckigen Klammern angegebenen Nenner durch den Nenner des Bruches dividierst.
a) $\frac{4}{15}=\frac{16xy}{60xy}$ Erweiterungsfaktor 4xy
b) $\frac{x}{x-y}=\frac{-2x}{2(y-x)}$ Erweiterungsfaktor -2
Beachte, dass x-y=-(y-x) ist!
c) $\frac{a}{a-b}=\frac{ab(a+b)}{b(a-b)(a+b)}$ Erweiterungsfaktor b(a+b)
d) $-1=\frac{-a-b}{a+b}$ Erweiterungsfaktor a+b
Hier ist der Nenner -(a+b) noch vereinfacht zu -a-b.
e) $ab=\frac{a^2b^4}{ab^3}$ Erweiterungsfaktor ab³
f) $-\frac{2}{3}=\frac{4b}{-6b}$< Erweiterungsfaktor 2b
Das Minuszeichen kann man auch in den Nenner schreiben!
g) $\frac{4y}{y+x}=\frac{-4xy}{-x(x+y)}$ Erweiterungsfaktor -x
Es ist x+y=y+x (Kommutativgesetz)!
h) $x=\frac{x^2(1-x)}{x(1-x)}$ Erweiterungsfaktor x(1-x)
i) $2=\frac{2x+6}{x+3}$ Erweiterungsfaktor x+3
j) $xy=\frac{x^3y^6}{x^2y^5}$ Erweiterungsfaktor x³y⁵
k) $\frac{1}{a-b}=\frac{-1}{b-a}$ Erweiterungsfaktor -1

120/3
Suche gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner. Eventuell musst du ausklammern.
a) In Zähler und Nenner stehen 2 und x jeweils als Faktoren.
$\frac{4x}{6x^2}=\frac{2}{3x}$ gekürzt mit 2x
b) In Zähler und Nenner stehen x-4 und x als Faktoren.
$\frac{x(x-4)}{x^3 (x-4)}=\frac{1}{x^2}$ gekürzt mit x(x-4)
c) Stelle zuerst Zähler oder Nenner um, indem du -1 ausklammerst.
$\frac{x-5}{5-x}=-1$ gekürzt mit 5-x
Beachte: x-5 = -(-x+5) = -(5-x)
d) $\frac{4x}{4}=x$ gekürzt mit 4
e) $\frac{4}{4x}=\frac{1}{x}$ gekürzt mit 4
f) $\frac{-4x}{x}=-4$ gekürzt mit x
g) $\frac{x\cdot 2x}{8x^2}=\frac{1}{4}$ gekürzt mit 2x²
h) $\frac{x(x-1)}{x^2(1-x)}=\frac{-1}{x}$ gekürzt mit x(1-x)
Beachte: x-1 = -(1-x)
i) $\frac{2(9x+6)}{6(3x+2)}=1$ gekürzt mit 2·3·(3x+2)
Beachte: Im Zähler kann man 3 ausklammern und 6 = 2·3!
j) $\frac{(3x-6)(8-2x)}{(4+x)(x-2)}=\frac{3(8-2x)}{4+x}$ gekürzt mit x-2
Im Zähler kann man beim Faktor 3x-6 die Zahl 3 ausklammern.
k) $\frac{4x^2}{4x}=x$ gekürzt mit 4x
l) $\frac{25(x+5)}{50(-x-5)}=-\frac{1}{2}$ gekürzt mit 25(x+5)
Beachte: -x-5=-(x+5) oder x+5=-(-x-5)
m) $\frac{324(x+y)}{-18x}=-\frac{18(x+y)}{x}$ gekürzt mit 18
n) $\frac{x^3(30-5x)(x^2-x)}{15x(x-6)(x-1)}=-\frac{x^3}{3}$ gekürzt mit 5x(x-6)(x-1)
Beachte: Ausklammern bei 30-5x = 5(6-x) und x²-x=x(x-1)!
o) $\frac{(7-x)(x-1)x^2}{x(x+1)(x-7)}=\frac{-(x-1)x}{x+1}$ gekürzt mit x(x-7)
Beachte 7-x=-(x-7)
p) Im Nenner kann man 6 ausklammern. Dann sind in Zähler und Nenner jeweils 3 und x-4 Faktoren, die man kürzen kann.
$\frac{3(x-4)(x+4)}{6x-24}=\frac{x+4}{2}$ gekürzt mit 3(x-4)
q) $\frac{180(y-9)(3-y)}{216(9-y)(y-3)}=\frac{5}{6}$ gekürzt mit 36(9-y)(y-3)
Beachte: - mal - = +
r) Klammere in Zähler und Nenner aus!
$\frac{4x-8}{16x-32}=\frac{1}{4}$ gekürzt mit 4x-8
s) Klammere zuerst in Zähler und Nenner aus!

$\frac{12x^2-30x}{2x-10}=\frac{6x^2-15x}{x-5}$ gekürzt mit 2, mehr geht nicht

  Aufgabe 5

Addition und Subtraktion: Buch S. 120/4
Multiplikation und Division: Buch S. 120/5, 6
Lass die Nenner als Produkt stehen!

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120/4
Überlege dir zuerst den Hauptnenner, eventuell die Nenner miteinander multiplizieren (aber nicht ausrechnen, nur Faktor · Faktor!) und erweitere dann die Brüche mit dem jeweiligen Erweiterungsfaktor. Fasse dann die Zähler zusammen und vereinfache den gemeinsamen Zähler.
a) $\frac{2+x}{x}$
Es ist $1 = \frac{x}{x}$.
b) $\frac{x^2+4}{2x}$
c) $\frac{1}{x+1}$
d) $\frac{8}{2x+2}=\frac{4}{x+1}$
Im Nenner 2 ausklammern und kürzen.
e) $\frac{2+x^2}{2x}$
f) $\frac{2+2x}{1+x}$
g) $\frac{1}{x(x-1)}$
Vor dem Minuend steht ein Minuszeichen, dies bedeutet, wenn man die Zähler zusammenfasst x - (x-1) - setze dazu den zweiten Zähler in Klammern! - und fasse dann zusammen.
h) $\frac{3x-6}{2x}$
i) $\frac{1+y^2}{y(1-y)}$
j) $\frac{2x-1}{x^2}$
Hauptnenner ist x²,also erweitert man den 1. udn 3. Bruch jeweils mit x und der gemeinsamt eZähler ist dann x-x²-(1-x²)+x, Klammern auflösen und zusammenfassen liefert 2x-1
k) $\frac{x+0,25}{0,5x}$
Es ist (x+0,5)²=(x+0,5)(x+0,5), ausmultiplizieren liefert x²+x+0,25
l) $\frac{1}{x+1}$
m) $\frac{2-x}{(1+x)(1-x)}$
n) $\frac{-x}{(1+x)(1-x)}$
o) $\frac{x^2+x}{x+1}=x$
p) $\frac{2x+7}{x+3}$

120/5
Beim Dividieren schreibe zuerst die Mulitplikation mit dem Kehrbruch hin und vereinfache dann.
a) 1
b) $\frac{x^2}{4}$
c) $\frac{2x-4}{5}$
Im Zähler steht der Faktor 4 im Nenner 10, also kann man den Bruch noch mit 2 kürzen.
d) -x
e) -4x⁴
Beachte, dass 1-x = -(-1+x) = -(x-1) ist.
f) 1
g) 2-x²
h) $\frac{2}{x}$
i) $\frac{-1}{x(x+1)}$
Im Zähler steht -x-2 = -(x+2) und x+2 kann man kürzen! Gut, dass man den Zähler nicht ausmultipliziert hat, da sieht man den Faktor x+2 zum Kürzen.
j) -x²+x

120/6
In der Tabelle stehen unter jeder Termaufgabe zwei Lösungen. Eine davon ist richtig und der Buchstabe unter der Lösung führt zum Lösungswort. Die Ergebnisse sind E - E - O - T - R - N - H und richtig sortiert NOETHER

https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether