Umkehrfunktion Beispiele

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Um das bisher behandelte zu üben beginnen wir mit ähnlichen Beispielen, also linearen Funktionen

30px   Aufgabe 1

Bestimme die Umkehrfunktion graphisch und rechnerisch der Funktion

a) $f: x \rightarrow 2x + 1$

b) $f: x \rightarrow 1 -0,5x$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Graphisch:

Rechnerisch: $y = 2 x + 1$
x und y vertauschen: $x = 2 y + 1$
nach y auflösen: $y = \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

b) Graphisch:

Rechnerisch: $y = 1 - 0,5 x$
x und y vertauschen: $x = 1 - 0,5 y$
nach y auflösen: $y = 2 - 2x$

Nun wollen wir auch andere Funktionstypen untersuchen:

30px   Aufgabe 2

Bestimme die Umkehrfunktion graphisch und algebraisch der Funktion

a) $f: x \rightarrow \frac{1}{x}+1$

b) $f: x \rightarrow x^3$

c) $f: x \rightarrow x^2$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) Graphisch:

Rechnerisch: $y =\frac{1}{x}+1$
x und y vertauschen: $x = \frac{1}{y}+1$
nach y auflösen: $y = \frac{1}{x-1}$

b) Graphisch:

Rechnerisch: $y =x^3$
x und y vertauschen: $x = y^3$
nach y auflösen: $y = \sqrt[3]{x}$

c) Graphisch:

Rechnerisch: $y =x^2$
x und y vertauschen: $x = y^2$
nach y auflösen: $y = \sqrt{x}$

Bei den letzten Aufgabe hat man ein Problem. Bei der graphischen Lösung geht man von einem Punkt der $y$-Achse waagrecht zum Funktionsgraph der Funktion $f$ und von dort senkrecht zur $x$-Achse. Nur wie soll man von $y = 3$ waagrecht losgehen? Nach links oder nach rechts?

Dies wollen wir bei Definitions- und Wertemenge näher behandeln.

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