Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1=a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).<br> | {{Lösung versteckt|1=a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).<br> | ||
− | + | Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus <math> cos\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right)}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}} \vert = \frac{3}{\sqrt{50}}</math>. Es ist <math>\varphi = 64,0^o</math>. | |
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+ | Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag<br> | ||
+ | und erhält dann den spitzen Winkel. | ||
b) S(0;2;-1) und <math>\varphi = 32,3^o</math> | b) S(0;2;-1) und <math>\varphi = 32,3^o</math> | ||
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{{Lösung versteckt|1=a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)<br> | {{Lösung versteckt|1=a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)<br> | ||
− | <math> sin\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -1 \\\ -1 \end{array}\right)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{11}} \vert = \frac{4}{\sqrt{22}}</math> und <math>\varphi = 58,5^o</math> | + | Für den Schnittwinkel interessieren der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor der Ebene E. <math> sin\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ -1 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -1 \\\ -1 \end{array}\right)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{11}} \vert = \frac{4}{\sqrt{22}}</math> und <math>\varphi = 58,5^o</math> |
b) S(4;-1;-1) und <math>\varphi=71,5^o</math>}} | b) S(4;-1;-1) und <math>\varphi=71,5^o</math>}} | ||
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S. 154/8 | S. 154/8 | ||
− | {{Lösung versteckt|1= | + | {{Lösung versteckt|1=a) Für den Schnittwinkel interessieren die zwei Normalenvektoren der Ebene. <math> cos\varphi=\vert \frac{\left( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -6 \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 5 \\\ 3 \end{array}\right)}{\sqrt{65}\cdot \sqrt{35}} \vert = \vert \frac{-3}{\sqrt{2275}}\vert = \frac{3}{\sqrt{2275}} </math> und <math>\varphi = 86,4^o</math> |
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+ | E<sub>1</sub>: 5x<sub>1</sub> - 6x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> + 3 = 0 und E<sub>2</sub>: 2x<sub>1</sub> + x<sub>3</sub> -3 = 0<br> | ||
+ | <math>\varphi = 63,7^o</math>}} |
Version vom 25. März 2020, 09:04 Uhr
Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.
Die Hessesche Normalenform (HNF)
Aufgaben
S. 153/1
a) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier nimmt man hiervon den Betrag.
Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist
b) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand .
c) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand .
d) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.
S. 153/2
(1) Wegen steht der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E. ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF .
Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man , also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann .
(2) Analog geht man hier vor.
.
HNF von E: .
k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)
S. 154/4
Die Ebene E hat HNF .
Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor .
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor oder aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann oder . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie und .
S. 154/6
a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).
Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus . Es ist .
Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag
und erhält dann den spitzen Winkel.
b) S(0;2;-1) und
c) S(2;2;2) undS. 154/7
a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)
Für den Schnittwinkel interessieren der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor der Ebene E. und
S. 154/8
a) Für den Schnittwinkel interessieren die zwei Normalenvektoren der Ebene. und
b)
c)
d) Hier ist es sinnvoll beide Ebenengleichungen in Normalenform zu schreiben;
E1: 5x1 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 und E2: 2x1 + x3 -3 = 0