Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. März 2020, 11:59 Uhr

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Die Hesseschen Normalenform (HNF)

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. $\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ .
Normiert man den Normalenvektoer $\vec{n}$ , also $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$ , dann erhält man einen Vektor $\vec{n}^o$ , der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor $\vec{n}$ und die Länge $\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1$ hat. Der Vektor $\vec{n}^o$ ist der Normaleneinheitsvektor.

Mit dem Vektor $\vec{n}^o$ erstellt man ebenso eine Normalenform $\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0$ der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
$\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0$

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ein Minuszeichen stehen!

Aufgabe 1

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x₁+ x₂ - 2x₃ - 4 = 0
b) 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $\frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0$

b) $-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0$ Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF $\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0$

Wieso nun $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ ?

Das hat eine anschauliche Bedeutung, die Sie in den nächsten zwei Aufgaben kennenlernen.

Aufgabe 2

Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt $\vec{n} \circ \vec{a} = 4$ , positiv.
Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Vektor $\vec{a}$ . Hier ist der Normalenvektor $\vec{n} = \vec{AP}$ .

Was stellen Sie fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Ebene E teilt den Raum in zwei Halbräume. Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugten Halbraum zeigen. $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.

Die Festlegung $\vec{n} \circ \vec{a} > 0$ bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die $\vec{n}$ und $\vec{a}$ haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.

Aufgabe 3

Die Ebene 3x₁+ x₂ - 20x₃ + 45 = 0 ist die Ebene E aus Aufgabe 147/16. Für diese Ebene stellt sich die Situation so dar.

Was stellen Sie hier fest?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Hier sieht man, dass die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in verschiedene durch die Ebene E erzeugten Halbräume zeigen. Ihr Zwischenwinkel ist > 90°. Also ist ihr Skalarprodukt negativ und in der Normalenform steht -(-45) = 45. Dann muss man für die HNF das Vorzeichen ändern, indem man vor den Bruch ein Minuszeichen schreibt. dies ist in Aufgabe 1 erfolgt.

Nun zur Normierung des Normalenvektors:

In diesem Bild ist ein Punkt P außerhalb der Ebene E gegeben. A ist in diesem Fall der Lotfußpunkt des Lotes von P auf E. (Den Lotfußpunkt erhält man, indem man von P aus in Richtung des Normalenvektors der Ebene E geht und den Schnittpunkt der Lotgeraden $l: \vec{x}=\vec{p} + k \vec{n}$ mit der Ebene E bestimmt.)

Geht man von A in Richtung P, so ist der Vektor $\vec{AP}=\vec{n}$ und der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand $\vert \vec{AP} \vert$ . Normiert man den Normalenvektor so erhält man $\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}$ und es ist dann $\vec{AP}= \vert \vec{n} \vert \cdot\vec{n}^o$ . Der Zahlenwert bei $\vec{n}^o$ gibt dann den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.

Nun ist $\vec{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ und damit $n = \vec{n}^o \circ \vec{} = \vec{n}^o \circ \vec{AP}=\vec{n}^o \circ \vec{p}-\vec{a}$ , was dem Term in der HNF entspricht.
Dies war nun die Überlegung, wenn der Punkt P senkrecht zur Ebene E über dem Stützpunkt A liegt.

Was macht man, wenn dies nicht der Fall ist?

Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E.

Merke

{{{1}}}

Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A.
Der Vektor $\vec{AP}$ und der Normalenvektor $\vec{n}$ schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor $\vec{AP}$ mit dem Normaleneinheitsvektor $\vec{n}^o$ einschließt.
Es ist dann

Das Skalarprodukt $\vec{n}^o \circ \vec{AP} = \vec{n}^o \circ (\vec{P}-\vec{a})$ gibt nun an wie oft die Projektion des Vektors $\vec{n}^o$ in den Vektor $\vec{AP}$ passst

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 Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. <math>\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0</math>.<br>
-Normiert man den Normalenvektoer <math>\vec{n}</math>, also <math>\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}</math>, dann erhält man einen Vektor <math>\vec{n}^o</math>, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und die Länge  <math>\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1</math> hat.<br>
+Normiert man den Normalenvektoer <math>\vec{n}</math>, also <math>\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}</math>, dann erhält man einen Vektor <math>\vec{n}^o</math>, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und die Länge  <math>\vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1</math> hat. Der Vektor <math>\vec{n}^o </math> ist der '''Normaleneinheitsvektor'''.
 Mit dem Vektor <math>\vec{n}^o</math> erstellt man ebenso eine Normalenform <math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0</math> der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:<br>
 <math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert}  = 0</math>
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 b)   <math>-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}}  = 0</math> Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF  <math>\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}}  = 0</math>
 }}
+Wieso nun <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math>?
+Das hat eine anschauliche Bedeutung, die Sie in den nächsten zwei Aufgaben kennenlernen.
 {{Aufgaben-blau|2|2=Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{n} \circ \vec{a} = 4</math>, positiv.<br> Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und den Vektor <math>\vec{a}</math> . Hier ist der Normalenvektor <math>\vec{n} = \vec{AP}</math> .<br>
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 [[Datei:Hnf1.jpg|HNF_1|300px]]<br>
 Geht man von A in Richtung P, so ist der Vektor <math>\vec{AP}=\vec{n}</math> und der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand <math>\vert \vec{AP} \vert </math>. Normiert man den Normalenvektor so erhält man <math>\vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}</math> und es ist dann <math> \vec{AP}= \vert \vec{n} \vert \cdot\vec{n}^o </math>. Der Zahlenwert bei <math>\vec{n}^o</math> gibt dann den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.
 Nun ist <math>\vec{AP}=\vec{p}-\vec{a}</math> und damit <math> n = \vec{n}^o \circ \vec{} = \vec{n}^o \circ \vec{AP}=\vec{n}^o \circ \vec{p}-\vec{a} </math>, was dem Term in der HNF entspricht. <br>
 Dies war nun die Überlegung, wenn der Punkt P senkrecht zur Ebene E über dem Stützpunkt A liegt.
 Was macht man, wenn dies nicht der Fall ist?<br>
-[[Datei:Hnf1b.jpg|HNF_3|400px]]
+Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E.
+{{Merke|Merksatz= Der Abstand eines Punktes P von der Ebene E ist <math> d(P;E)=\vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})=0</math>.
+Man erhält den Abstand, indem man in der Hesseschen Normalform den Ortsvektor <math>\vec{x}</math> durch den Ortsvektor <math>\vec{x}</math> des Punktes P ersetzt.}}
+[[Datei:Hnf1b.jpg|HNF_3|300px]] Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A. [[Datei:Hnf1c.jpg|HNF_4|300px]]<br>
+Der Vektor <math>\vec{AP}</math> und der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor <math>\vec{AP}</math> mit dem Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n}^o </math> einschließt.<br>
+Es ist dann
+Das Skalarprodukt <math> \vec{n}^o \circ \vec{AP} = \vec{n}^o \circ (\vec{P}-\vec{a}) </math> gibt nun an wie oft die Projektion des Vektors <math>\vec{n}^o</math> in den Vektor <math> \vec{AP}</math> passst

Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 22. März 2020, 11:59 Uhr

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