Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n^o}</math> oder <math>-\vec{n^o}</math> aneinandersetzt. <br> | Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor <math>\vec{n^o}</math> oder <math>-\vec{n^o}</math> aneinandersetzt. <br> | ||
Deren HNF sind dann <math> \frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}+9=0</math> oder <math> \frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}-9=0</math> . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)<br> | Deren HNF sind dann <math> \frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}+9=0</math> oder <math> \frac{16x_1+ 8x_2 + 2x_3}{18}-9=0</math> . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)<br> | ||
− | Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie <math>16x_1+ 8x_2 + 2x_3 + 162 = 0</math> und <math>16x_1+ 8x_2 + 2x_3 - 162 = 0</math> . | + | Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie <math>16x_1+ 8x_2 + 2x_3 + 162 = 0</math> und <math>16x_1+ 8x_2 + 2x_3 - 162 = 0</math> .<br> |
+ | [[Datei:154-4.jpg|parallele Ebenen|400px]]<br> | ||
+ | (E1 für +9 und E2 für -9; E1 und E2 liegen in verschiedenen Halbräumen des durch E geteilten Raumes.) | ||
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Version vom 24. März 2020, 19:27 Uhr
Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.
Die Hessesche Normalenform (HNF)
Aufgaben
S. 153/1
a) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier nimmt man hiervon den Betrag.
Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist
b) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand .
c) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand .
d) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.
S. 153/2
(1) Wegen steht der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E. ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF .
Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man , also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann .
(2) Analog geht man hier vor.
.
HNF von E: .
k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)
S. 154/4
Die Ebene E hat HNF .
Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor .
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor oder aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann oder . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie und .