Hessesche Normalenform

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Wie man auf die Die Hesseschen Normalenform (HNF) kommt soll erklärt werden.

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. \vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0.
Normiert man den Normalenvektoer \vec{n}, also \vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}, dann erhält man einen Vektor \vec{n}^o, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor \vec{n} und die Länge \vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1 hat. Der Vektor \vec{n}^o ist der Normaleneinheitsvektor.

Mit dem Vektor \vec{n}^o erstellt man ebenso eine Normalenform \vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0 der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert}  = 0

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass \vec{n} \circ \vec{a} > 0 ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten \vec{n} \circ \vec{a} > 0 ein Minuszeichen stehen!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x1+ x2 - 2x3 - 4 = 0
b) 3x1+ x2 - 20x3 + 45 = 0

a) \frac{2 x_1+ x_2 -2  x_3 - 4}{3}  = 0
b) -\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}}  = 0

Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF \frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}}  = 0


Wieso nun \vec{n} \circ \vec{a} > 0?

Das hat eine anschauliche Bedeutung, die Sie in den nächsten zwei Aufgaben kennenlernen.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt \vec{n} \circ \vec{a} = 4, positiv.
Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor \vec{n} und den Vektor \vec{a} . Hier ist der Normalenvektor \vec{n} = \vec{AP} .
HNF_1
Was stellen Sie fest?

Die Ebene E teilt den Raum in zwei Halbräume. Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugten Halbraum zeigen. \vec{n} und  \vec{a} haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.


Die Festlegung \vec{n} \circ \vec{a} > 0 bedeutet anschaulich, dass vom Ursprung aus die \vec{n} und  \vec{a} haben in etwa "die gleiche Richtung" haben.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Die Ebene 3x1+ x2 - 20x3 + 45 = 0 ist die Ebene E aus Aufgabe 147/16. Für diese Ebene stellt sich die Situation so dar.
HNF_2
Was stellen Sie hier fest?

Hier sieht man, dass die Vektoren \vec{n} und  \vec{a} in verschiedene durch die Ebene E erzeugten Halbräume zeigen. Ihr Zwischenwinkel ist > 90°. Also ist ihr Skalarprodukt negativ und in der Normalenform steht -(-45) = 45. Dann muss man für die HNF das Vorzeichen ändern, indem man vor den Bruch ein Minuszeichen schreibt. dies ist in Aufgabe 1 erfolgt.


Nun zur Normierung des Normalenvektors:

In diesem Bild ist ein Punkt P außerhalb der Ebene E gegeben. A ist in diesem Fall der Lotfußpunkt des Lotes von P auf E. (Den Lotfußpunkt erhält man, indem man von P aus in Richtung des Normalenvektors der Ebene E geht und den Schnittpunkt der Lotgeraden l: \vec{x}=\vec{p} + k \vec{n} mit der Ebene E bestimmt.)
HNF_1
Geht man von A in Richtung P, so ist der Vektor \vec{AP}=\vec{n} und der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand \vert \vec{AP} \vert . Normiert man den Normalenvektor so erhält man \vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert} und es ist dann  \vec{AP}= \vert \vec{n} \vert \cdot\vec{n}^o . Der Zahlenwert bei \vec{n}^o gibt dann den Abstand des Punktes P von der Ebene E an.


Nun ist \vec{AP}=\vec{p}-\vec{a} und damit  n = \vec{n}^o \circ \vec{} = \vec{n}^o \circ \vec{AP}=\vec{n}^o \circ \vec{p}-\vec{a} , was dem Term in der HNF entspricht.
Dies war nun die Überlegung, wenn der Punkt P senkrecht zur Ebene E über dem Stützpunkt A liegt.


Was macht man, wenn dies nicht der Fall ist?

Die gerade ausgeführte Überlegung führt zu Abstandsbestimmung eines Punktes P von der Ebene E.

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Abstand eines Punktes P von der Ebene E ist  d(P,E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert.

Man erhält den Abstand, indem man in der Hesseschen Normalform den Ortsvektor \vec{x} durch den Ortsvektor \vec{p} des Punktes P ersetzt.


HNF_3 Der Punkt P liegt offensichtlich nicht senkrecht über A. HNF_4
Der Vektor \vec{AP} und der Normalenvektor \vec{n} schließen nun einen Winkel ein. Dies ist der gleiche Winkel, den der Vektor \vec{AP} mit dem Normaleneinheitsvektor \vec{n}^o einschließt.
Es ist also \vec{n} \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n} \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi und \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) = \vert \vec{n}^o \vert \cdot \vert \vec{AP} \vert cos \varphi =  \vert \vec{AP} \vert cos \varphi mit gleichem Winkel  \varphi in beiden Formeln. HNF_5
Ist L der Lotfußpunkt des Lotes von P auf die Ebene E, dann gilt im rechtwinkligen Dreieck ALP  \vert \vec{LP} = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi .

Es ist also d(P,E)= \vert \vec{LP} \vert = \vert \vec{AP} \vert cos \varphi  =\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert


Bemerkungen:

1. Da für den Abstand  d(P,E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert des Punktes P von der Ebene E ein Betrag die Rechnung bestimmt sind die Überlegungen zu \vec{n} \circ \vec{a} > 0 bedeutungslos, da es für die Abstandsberechnung egal ist ob man von \vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} oder von -\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= -\frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} den Betrag nimmt.

2. Lässt man beim Abstand  d(P;E)=\vert \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) \vert des Punktes P von der Ebene E die Betragsstriche weg, also  d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) erhält man noch mehr Informationen.

Für die Abstandsberechnung wird die HNF \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a})=0 vorausgesetzt, also \vec{n} \circ \vec{a} > 0. Wenn mann dann die richtige HNF hat, statt \vec{x} \vec{p} in  d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) einsetzt und den Abstand des Punktes P von der Ebene E mit  d(P;E)= \vec{n}^o \circ (\vec{p} - \vec{a}) berechnet, dann kann d(P,E) auch negative Werte annehmen. Dabei bedeutet
d(P,E) > 0, dass P und der Ursprung O in verschiedenen Halbräumen des durch E geteilten Raumes liegen.
d(P,E) = 0, dass P in E liegt. d(P,E) < 0, dass P und der Ursprung O im gleichen Halbraum liegen.
Die Hessesche Normalenform liefert also Informationen zum Abstand und zur Lage eines Punktes P zu der Ebene E.


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