M10 Der Grenzwert: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Summe mit den Kehrwerten der natürlichen Zahlen wird immer größer, während die Summe mit den Kehrwerten der Quadratzahlen bei jedem Schritt nicht sehr dazuwächst. | Die Summe mit den Kehrwerten der natürlichen Zahlen wird immer größer, während die Summe mit den Kehrwerten der Quadratzahlen bei jedem Schritt nicht sehr dazuwächst. | ||
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| + | {{Aufgaben-blau|3|2=Betrachte die Funktion <math>f:x \rightarrow 2 - 2\cdot \left( \frac{1}{2} \right )^2</math> und berechne die Funktionswerte <math>f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), f(6), .... </math> mit Hilfe einer Tabellenkalkulation. <br> | ||
| + | Was stellst du fest? }} | ||
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| + | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Grenzwert 1.jpg]]<br> | ||
| + | Die Funktionswerte kommen der Zahl 2 sehr schnell beliebig nahe. und ab n = 36 ergibt sich auf 10 Nachkommastellen gerunden stets 2. }} | ||
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| + | {{Merksatz|MERK=Nähern sich die Funktionswerte <math>f(x)</math> für <math>x \rightarrow \infty</math> der Zahl a beliebig nahe, dann heißt a '''Grenzwert''' oder '''Limes''' der Funktion. <br> | ||
| + | Man schreibt: <math>\lim_{x\to \infty} f(x) = a</math>. | ||
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| + | Man sagt auch, dass die Funktion f gegen die Zahl a konvergiert. Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote des Graphen G\sub>f</sub>. | ||
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| + | Dies gilt auch analog für <math>x \rightarrow -\infty</math>. }} | ||
Version vom 5. Mai 2021, 16:01 Uhr
Holt nun Achilles die Schildkröte ein oder nicht?
Ihr habt ein ähnliches Problem schon mal in der 6. Klasse kennengelernt.
 Versuch
Nimm die Brüche mit Nenner 9. Man kann diese Brüche als periodische Dezimalbrüche schreiben. |
mit n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aus Dezimalbrüche. 
der Fall?
Es ist 
ist, also ist auch 0,99999999.... = 1. Der Dezimalbruch 0,999999999.... hat unendlich viele Nachkommastellen und letztendlich den Wert 1.
, die Schildkröte mit <matsh>v_S=1\frac{m}{s}</math> und die Schildkröte hat 10m Vorsprung.
1. Achilles legt 10m + 1m + 0,1m + 0,01m + 0,001m + 0,0001m + ... = 11,1111....m zurück.
Die Schildkröte legt 1m + 0,1m + 0,01m + 0,001m + 0,0001m + ... = 1,1111m zurück.
In der Tabelle sind die Wege vom Startpunkt von Achilles aus angegegeben und die jeweilige Differenz von Achilles und der Schildkröte.
Die Wegdifferenz wird bei jedem Schritt um 0,1 kleiner.
2. Nach einer Sekunde hat Achilles 10m zurückgelegt, die Schildkröte 1m.
Nach 2s hat Achilles 20m zurückgelegt, die Schildkräte 2m. Also ist Achilles 8m vor der Schildkröte.
Nach 3s hat Achilles 30m zurückgelegt, die Schildkröte 3m. Nun ist Achilles 17m vor der Schildkröte.
Erstelle die Rechnung in einer Tabellenkalkulation. Vergrößere die Tabelle ruhig bis n = 500. Was stellst du jeweils fest?
Die Summe mit den Kehrwerten der natürlichen Zahlen wird immer größer, während die Summe mit den Kehrwerten der Quadratzahlen bei jedem Schritt nicht sehr dazuwächst.
und berechne die Funktionswerte 
mit Hilfe einer Tabellenkalkulation.
 Merke:
Nähern sich die Funktionswerte Man sagt auch, dass die Funktion f gegen die Zahl a konvergiert. Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote des Graphen G\sub>f</sub>. Dies gilt auch analog für |
für 
der Zahl a beliebig nahe, dann heißt a Grenzwert oder Limes der Funktion. 
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