M10 Die Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: „Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form <math>y = b \cdot a^x</math>. Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstums…“) |
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1. Wieso darf man für die Basis a nur positive reelle Zahlen verwenden?<br> | 1. Wieso darf man für die Basis a nur positive reelle Zahlen verwenden?<br> | ||
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+ | 3. Welchen Punkt haben alle Graphen der Exponentialfunktionen <math>f:x \rightarrow a^x</math> gemeinsam?<br> | ||
+ | 4. Was ist die Funktion <math>f:x \rightarrow 1^x</math>? }} | ||
{{Lösung versteckt|1=Aus den Beispielen kennst du, dass x irgendeine reelle Zahl, also eine negative oder positive Zahl oder 0 sein kann. <br> | {{Lösung versteckt|1=Aus den Beispielen kennst du, dass x irgendeine reelle Zahl, also eine negative oder positive Zahl oder 0 sein kann. <br> | ||
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Für a = -2 hätte man den Term <math>(-2)^0,5=\sqrt {-2}</math>, was in den reellen Zahlen nicht möglich ist, dies ist nicht definiert. | Für a = -2 hätte man den Term <math>(-2)^0,5=\sqrt {-2}</math>, was in den reellen Zahlen nicht möglich ist, dies ist nicht definiert. | ||
− | 2. Wenn a > 1 ist, dann hat man eine monoton steigenden Graphen, wenn a < 1 ist, dann ist der Graph monoton fallend.}} | + | 2. Wenn a > 1 ist, dann hat man eine monoton steigenden Graphen, wenn a < 1 ist, dann ist der Graph monoton fallend. |
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+ | 3. Alle Graphen haben den Punkt (0;1) gemeinsam. | ||
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+ | 4. Es ist <math>1^x=1</math>, daher ist diese Funktion die konstante 1, also die Funktion, die jedem x fir Zahl 1 zuordnet. }} | ||
{{Merke|1=Bei einem Funktionsgraphen geht man bei der Betrachtung immer in x-Richtung von links nach rechts, d.h. die x-Werte nehmen zu, sie werden größer.<br> | {{Merke|1=Bei einem Funktionsgraphen geht man bei der Betrachtung immer in x-Richtung von links nach rechts, d.h. die x-Werte nehmen zu, sie werden größer.<br> | ||
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Beim grünen Graphen werden die y-Werte immer größer, wenn die x-Werte auch größer werden, der grüne Graph ist '''streng monoton steigend''',<br> | Beim grünen Graphen werden die y-Werte immer größer, wenn die x-Werte auch größer werden, der grüne Graph ist '''streng monoton steigend''',<br> | ||
beim roten Graphen werden die y-Werte immer kleiner, wenn die x-Werte größer werden (man geht von links nach rechts), der rote Graph ist '''streng monoton fallend'''. }} | beim roten Graphen werden die y-Werte immer kleiner, wenn die x-Werte größer werden (man geht von links nach rechts), der rote Graph ist '''streng monoton fallend'''. }} | ||
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Version vom 23. Februar 2021, 12:25 Uhr
Bei den Beispielen zum exponentiellen Wachstum war der Term immer von der Form . Dabei war b der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor. Diese Gleichung beschreibt einen neuen Funktionstyp. Bei diesen Funktionen steht die Variable x im Exponenten, daher heißen diese Funktionen Exponentialfunktionen.
Merke:
Die Funktion (bc ∈ R+\{0}, a ∈ R+) heißt Exponentialfunktion zur Basis a. |
Aus den Beispielen kennst du, dass x irgendeine reelle Zahl, also eine negative oder positive Zahl oder 0 sein kann.
Wenn a=0 wäre, was ist dann 0^0 oder 0-1?
00 ist nicht definiert, ebenso wäre ein nicht definierter Term.
Wenn a eine negative Zahl wäre, z.B. a = -2, was ist dann ?
Für a = -2 hätte man den Term , was in den reellen Zahlen nicht möglich ist, dies ist nicht definiert.
2. Wenn a > 1 ist, dann hat man eine monoton steigenden Graphen, wenn a < 1 ist, dann ist der Graph monoton fallend.
3. Alle Graphen haben den Punkt (0;1) gemeinsam.
4. Es ist , daher ist diese Funktion die konstante 1, also die Funktion, die jedem x fir Zahl 1 zuordnet.