M11 Die Kettenregel
Die Ableitung einer Funktion , die die Verkettung der Funktionen und ist, erhält man mit der Kettenregel. Es ist .
Nach der Definition der Ableitung ist .
Nun muss man dabei beachten was die Funktionen und dabei machen.
Wenn ist, dann ist .
sind die Argumente, die in u eingesetzt werden. Dabei ist dann, wenn ist , auch .
Damit kann man den Differenzenquotienten schreiben:
.
Beim letzten Term stimmt der Nenner des ersten Bruches mit den Zähler des 2. Bruches überein.
Der erste Bruch bedeutet, dass man nach ableitet und der zweite Bruch bedeutet, dass man nach ableitet.
Also hat man .
Merke:
Kettenregel . Man leitet zuerst die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Dies nennt man Nachdifferenzieren. |
Beispiele:
1.Wir nehmen das Anfangsbeispiel der Seite M11_Verkettung_von_Funktionen
Es ist . Dabei ist die Funktionsgleichung der äußeren Funktion. Das Argument der Funktion wurde mit bezeichnet, damit man sieht, dass die Variable von nun (eigentlich ) ist.
Die innere Funktion hat die Funktionsgleichung .
Für die Ableitung der Funktion differenziert man die äußere Funktion nach . Also ist und multipliziert dieses Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion nach , also mit .
Insgesamt erhält man nun . Nun ersetzt man wieder durch und kürzt 2, dann ist das Ergebnis
2. mit ist die Verkettung der Funktion mit mit der Funktion mit .
Die Ableitung von ist (Ableitung der äußeren Funktion)
und die Ableitung von ist (Ableitung der inneren Funktion).
Die Ableitungsfunktion erhält man durch .
Nun ersetzt man weider durch und hat dann die Ableitung der Funktion
Und das ging doch deutlich besser als die Potenz auszurechnen!