M11 dreidimensionales Koordinatensystem

Wir erweitern unser zweidimensionales xy-Koordinatensystem durch eine dritte z-Koordinate.

In Geogebra klicken Sie das Fenster "Grafik" weg und wählen im Menü "Ansicht" die Auswahl "3D Grafik" aus. Geben Sie unten in der Eingabezeile A=(1,2,3) ein. Nun wird der Punkt A eingezeichnet. Sie können nun durch Drehen die Lage des Koordinatensystems ändern und erkennen, dass die rote Achse, die x-Achse, die grüne Achse die y-Achse und die blaue Achse die z-Achse ist. Es wird nun ein räumliches Koordinatensystem angezeigt.

Um mit unserem Buch konform zu sein nennen wir die x-Koordinate nun x₁-Koordinate, die y-Koordinate nun x₂-Koordinate und die z-Koordinate nun x₃-Koordinate.
Für unseren Punkt A(1;2;3) bedeutet dies, dass x₁=1, x₂=2 und x₃=3 ist.
In GeoGebra ist die x₁-Achse rot, die x₂-Achse grün und die x₃-Achse blau.

Die x₁-Koordinate des Punktes P(2;4;5) ist (!4) (2) (!5)

Die x₃-Koordinate des Punktes P(-1;24;5) ist (!-1) (5) (!24)

Die x₂-Koordinate des Punktes P(2;-4;-5) ist (!2) (-4) (!-5)

  Aufgabe 1

Berechne die Länge der Strecke [OA], wobei O(0;0;0) der Ursprung ist.

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Es ist $\overline {OA}=\sqrt {1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$

Um weiter mit unserem Buch konform zu sein, vereinbaren wir, dass wir ein dreidimensionales Koordinagensystem so zeichnen, dass die x₁-Achse schräg nach vorne zeigt, die x₂-Achse nach rechts und die x₃-Achse nach oben. Die Koordinatenebenen zerlegen den Raum in acht Teile, sogenannte Oktanten.

Bei den Oktanten I bis IV ist x3 stets positiv, bei den Oktanten V bis VIII ist 3 negativ. I. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > > 0 II. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > > 0 III. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > > 0 IV. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > > 0 V. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > < 0 VI. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > < 0 VII. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > < 0 VIII. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > < 0

Durch die Achsen werden drei Ebenen festgelegt:

• x₁x₂-Ebene (rot),
  
• x₁x₃-Ebene (blau),
  
• x₂x₃-Ebene (gelb).