M8 Term und Graph bei gebrochen-rationalen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit <math> f(x) = \frac{1}{x}</math> (<span style="color:#04B404">&nbsp;grün</span>) und der Graph der Funktion g mit <math>g(x) = \frac{a}{x}</math> (<span style="color:#C00000">&nbsp;rot</span>) eingezeichnet.  Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = -1 und a = 1 ändern. <br>
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{{Aufgaben-blau|2|2=Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.<br>
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Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = -1 stellst?
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Beschreibe deine Beobachtung.}}
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{{Lösung versteckt|1=Man erhält den roten Graphen für a = -1 , wenn man den grünen Graphen an der x-Achse spiegelt. }}
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{{Merksatz|MERK=Den (roten) Graphen der Funktion <math>g</math> mit <math>g(x) = -\frac{1}{x} </math> erhältst du aus dem (grünen) Graphen der Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{1}{x} </math>, in dem du den (grünen) Graphen von <math>f</math> an der x-Achse spiegelst. }}
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'''Anmerkung:'''<br>
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Du könntest natürlich auch sagen, dass du den grünen Graph an der y-Achse spiegelst. Das Ergebnis ist das gleiche!<br>
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'''Aber''' wenn du die Funktionsterme anschaust dann hat die Funktion <math>f</math> den Funktionswert <math>y_f=\frac{1}{x}</math>. Und die Funktion <math>g</math> hat den Funktionswert <math>y_g=-\frac{1}{x}</math>, also ist <math> y_g=-y_f</math>, der y-Wert ändert also sein Vorzeichen. Das entspricht der Spiegelung an der x-Achse.
  
 
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Version vom 18. Juni 2020, 10:25 Uhr

Auf dieser Seite soll der Zusammenhang zwischen dem Graphen und dem Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion näher untersucht werden. Dabei geht es um zwei Fragestellungen:
1. Wie finde ich aus einem gegebenen Graphen den passenden Funktionsterm.
2. Wie kann man "leicht" aus einem gegebenen Funktionsterm den Graphen angeben.

Zur Beantwortung sind die folgenden Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen hilfreich.
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die indirekte Proportionalität f: x \rightarrow \frac{1}{x} . Die Funktion ist für x \in Q\setminus \left \{ 0 \right \} definiert. Die Funktionsgleichung ist y = \frac{1}{x} und der Funktionsgraph

1-x-.jpg


Inhaltsverzeichnis

Definitionslücke - senkrechte Asymptote

Die Funktion g: x \rightarrow \frac{1}{x-b} ist für x = b nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig! Also ist D=Q\setminus \left \{ b \right \}. An der Stelle x = b hat die Funktion g eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. x = b ist eine Polstelle des Graphen.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit f(x) = \frac{1}{x} ( grün) und der Graph der Funktion g mit g(x) = \frac{1}{x-b} ( rot) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote x = b ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern.


Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

2. Stelle nun den Schieberegler auf b = 1.
Beschreibe was mit dem Graphen von g und mit der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
3. Stelle nun den Schieberegler auf b = -2.
Beschreibe wieder was mit dem Graphen von g und der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
4. Betätige nun den Schieberegler für b beliebig und beobachte was mit dem Graphen von g und der Asymptote bezüglich des Graphen von f passiert. Beschreibe deine Beobachtungen.

1. Die Funktionsgleichung ist g(x) = \frac{1}{x} und die Gleichung der Asymptote x = 0 .

2. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 1 in positive x-Richtung verschoben.
Ebenso wird die Asymptote um 1 in positive x-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung ist g(x) = \frac{1}{x-1} und die Gleichung der Asymptote x = 1 .

3. Der Graph von f der indirekten Proportionalität wird um 2 in negative x-Richtung verschoben.
Ebenso wird die Asymptote um 2 in negative x-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung ist g(x) = \frac{1}{x-(-2)}=\frac{1}{x+2} und die Gleichung der Asymptote x = -2 .

4. Der Graph von f wird um b in x-Richtung verschoben.
Ist b > 0, dann erfolgt die Verschiebung von f um b in positive x-Richtung,
ist b < 0, erfolgt die Verschiebung um den Betrag von b, in negative x-Richtung.

Ebenso wird die Asymptote verschoben.


Maehnrot.jpg
Merke:

Den Graphen der Funktion g mit g(x) = \frac{1}{x-b} erhältst du aus dem Graphen der von f mit f(x) = \frac{1}{x} indem du den Graphen von f um b in Richtung der x-Achse verschiebst.
Dabei wird die senkrechte Asymptote x = 0 ebenso um b in Richtung der x-Achse verschoben und die senkrechte Asymptote von g mit g(x) = \frac{1}{x-b} ist x = b.


Dabei erfolgt die Verschiebung in Richtung der x-Achse
wenn b positiv (b>0) ist in positive x-Richtung und
wenn b negativ (b<0) ist in negative x-Richtung.


Zusammenfassung:

Für die anfangs gestellten zwei Fragen hast du nun folgende Antworten:

1. Hat der Graph für x = b eine Definitionslücke und senkrechte Asymptote, dann steht im Nenner der
gebrochen-rationalen Funktion der Term x-b oder eine Potenz (x-b)^n.

2. Ist f(x)=\frac{1}{x-b}, dann erhältst du den Graphen durch Verschiebung des Graphen von f
um b in Richtung der x-Achse. Die Asymptote ist x=b


Vorzeichenwechsel

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit f(x) = \frac{1}{x} ( grün) und der Graph der Funktion g mit g(x) = \frac{a}{x} ( rot) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von a zwischen den Werten a = -1 und a = 1 ändern.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Der Schieberegler steht in der Stellung a = 1.
Was passiert mit dem roten Graph, wenn du den Schieberegler auf a = -1 stellst? Beschreibe deine Beobachtung.

Man erhält den roten Graphen für a = -1 , wenn man den grünen Graphen an der x-Achse spiegelt.


Maehnrot.jpg
Merke:

Den (roten) Graphen der Funktion g mit g(x) = -\frac{1}{x} erhältst du aus dem (grünen) Graphen der Funktion f mit f(x) = \frac{1}{x} , in dem du den (grünen) Graphen von f an der x-Achse spiegelst.

Anmerkung:
Du könntest natürlich auch sagen, dass du den grünen Graph an der y-Achse spiegelst. Das Ergebnis ist das gleiche!
Aber wenn du die Funktionsterme anschaust dann hat die Funktion f den Funktionswert y_f=\frac{1}{x}. Und die Funktion g hat den Funktionswert y_g=-\frac{1}{x}, also ist y_g=-y_f, der y-Wert ändert also sein Vorzeichen. Das entspricht der Spiegelung an der x-Achse.

Spiegelung an der x-Achse

Streckung und Stauchung

waagrechte Asymptote

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