M8 Term und Graph bei gebrochen-rationalen Funktionen

Auf dieser Seite soll der Zusammenhang zwischen dem Graphen und dem Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion näher untersucht werden. Dabei geht es um zwei Fragestellungen:
1. Wie finde ich aus einem gegebenen Graphen den passenden Funktionsterm.
2. Wie kann man "leicht" aus einem gegebenen Funktionsterm den Graphen angeben.

Zur Beantwortung sind die folgenden Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen hilfreich.
Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist die indirekte Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ . Die Funktion ist für $x \in Q\setminus \left \{ 0 \right \}$ definiert. Die Funktionsgleichung ist $y = \frac{1}{x}$ und der Funktionsgraph

Definitionslücke - senkrechte Asymptote

Die Funktion $g: x \rightarrow \frac{1}{x-b}$ ist für $x = b$ nicht definiert, da wenn man b für x einsetzt im Nenner Null steht. Das ist nicht zulässig! Also ist $D=Q\setminus \left \{ b \right \}$. An der Stelle $x = b$ hat die Funktion $g$ eine Definitionslücke. Der Graph eine senkrechte Asymptote. $x = b$ ist eine Polstelle des Graphen.

  Aufgabe 1

Im folgenden Applet ist der Graph der indirekten Proportionalität f mit $f(x) = \frac{1}{x}$ ( grün) und der Graph der Funktion g mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ ( rot) eingezeichnet. Desweiteren ist die senkrechte Asymptote $x = b$ ( blau) eingezeichnet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von b ändern.

Der Schieberegler ist auf b = 0 eingestellt.
1. Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

2. Stelle nun den Schieberegler auf b = 1.
Beschreibe was mit dem Graphen von g und mit der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
3. Stelle nun den Schieberegler auf b = -2.
Beschreibe wieder was mit dem Graphen von g und der Asymptote passiert, indem du mit dem Graphen von f vergleichst.
Gib die Funktionsgleichung von g und die Gleichung der Asymptote an.

Stelle nun den Schieberegler wieder auf b = 0. Die Graphen von f und g liegen nun wieder aufeinander.
4. Betätige nun den Schieberegler für b beliebig und beobachte was mit dem Graphen von g und der Asymptote bezüglich des Graphen von f passiert. Beschreibe deine Beobachtungen.

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b

Merke: Den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ erhältst du aus dem Graphen der von $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x}$ indem du den Graphen von $f$ um b in Richtung der x-Achse verschiebst. Dabei wird die senkrechte Asymptote $x = 0$ ebenso um b in Richtung der x-Achse verschoben und die senkrechte Asymptote von $g$ mit $g(x) = \frac{1}{x-b}$ ist $x = b$. Dabei erfolgt die Verschiebung in Richtung der x-Achse wenn b positiv (b>0) ist in positive x-Richtung und wenn b negativ (b<0) ist in negative x-Richtung.