M9 Potenzen mit rationalen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: „{{Merksatz|MERK=Für die allgemeine Wurzel <math>\sqrt[n]{a}</math> kann man auch eine Potenz <math>a^{\frac{1}{n}}</math> schreiben. Es ist für a <math>\in R…“) |
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<math>\sqrt [5]{3072} = \sqrt [5]{3\cdot 1024}=\sqrt [5]{3\cdot 4^5}=4\cdot \sqrt[5]{3}\approx4,98</math><br> | <math>\sqrt [5]{3072} = \sqrt [5]{3\cdot 1024}=\sqrt [5]{3\cdot 4^5}=4\cdot \sqrt[5]{3}\approx4,98</math><br> | ||
<math>\sqrt[6]{640}=\sqrt [6]{10\cdot 2^6}=2\sqrt [6]{10}\approx 2,94</math> | <math>\sqrt[6]{640}=\sqrt [6]{10\cdot 2^6}=2\sqrt [6]{10}\approx 2,94</math> | ||
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+ | {{Merke|1=Noch ein paar Tipps bevor es ans Rechnen geht! | ||
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+ | Wenn ein Minuszeichen im Exponenten steht, dann beachte, dass <math>a^{-r}=\left ( \frac{1}{a} \right )^r</math> ist. | ||
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+ | Bei der Einführung der rationalen Exponenten ist <math>a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^m}=(\sqrt [n] {a})^m</math>. Hier sieht man, dass der Nenner n des Exponenten für die Wurzel zuständig ist und der Zähler m potenziert. <br> | ||
+ | Man hat auch zwei Möglichkeiten <math>a^{\frac{m}{n}}</math> zu berechnen:<br> | ||
+ | 1. <math>a^{\frac{m}{n}} = \sqrt [n]{a^m}</math>, d.h. es wird zuerst die Basis mit m potenziert und dann die m-te Wurzel gezogen.<br> | ||
+ | 2. <math>a^{\frac{m}{n}} =(\sqrt [n] {a})^m</math>, d.h. man zieht zuerst aus der Basis die n-te Wurzel und potenziert dann. | ||
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+ | Am Beispiel <math>81^{\frac{3}{4}}</math> sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist:<br> | ||
+ | 2. <math>81^{\frac{3}{4}}?(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27</math> Hier blieben die Zahlen klein und überaschaubar.<br> | ||
+ | 1. <math>81^{\frac{3}{4}}</math>=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441} = 27</math> Hier hilft nur noch der Taschenrechner, das ist im Kopf nicht machbar! }} | ||
Version vom 9. März 2021, 14:46 Uhr
Merke:
Für die allgemeine Wurzel kann man auch eine Potenz schreiben. Es ist für a , n N \ {1} Weiter ist Insbesondere ist |
Beispiele:
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Sind r und s rationale Zahlen, dann schreibt es sich einfacher
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Beispiele:
Vereinfache so weit als möglich:
Radiziere so weit als möglich (teilweises Radizieren)
Noch ein paar Tipps bevor es ans Rechnen geht! Wenn ein Minuszeichen im Exponenten steht, dann beachte, dass ist. Bei der Einführung der rationalen Exponenten ist . Hier sieht man, dass der Nenner n des Exponenten für die Wurzel zuständig ist und der Zähler m potenziert. Am Beispiel sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist: |
a) )
b) Es ist oft sinnvoll zuerst die Wurzel zu ziehen (Nenner) und dann zu Potenzieren (Zähler).
c) Auch hier zuerst (mit den Nenner) radizieren und dann (mit dem Zähler) potenzieren.
d)