M9 Potenzen mit rationalen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen

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a) <math>81^{\frac{1}{4}}; 216^{\frac{1}{3}}; 25^{\frac{3}{2}}; 32^{\frac{3}{5}}; 0,25^2</math>
  

Version vom 10. März 2021, 19:04 Uhr


Maehnrot.jpg
Merke:

Für die allgemeine Wurzel \sqrt[n]{a} kann man auch eine Potenz a^{\frac{1}{n}} schreiben. Es ist für a \in R_0^+, n \in N \ {1}

\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

Weiter ist \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Insbesondere ist \sqrt[n]{a^n}=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a

Beispiele:

27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3
8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt [3]{64}=4
512^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{512} = 2
625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5
625^{-\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625^{-1}} = \sqrt[4]{\frac{1}{625}}=\frac{1}{5}
256^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{256^3} = \sqrt[8]{(2^8)^3}=\sqrt[8]{2^{24}}=\sqrt[8]{(2^3)^8}=2^3=8
256^{0,375}=256^{\frac{3}{8}} =8

Nuvola apps kig.png   Merke

Im Exponent kann nun ein Bruch stehen.
Auch dann gelten die bisher bekannten Potenzgesetze:
a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}
a^{\frac{m}{n}}: a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}
a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}}=(ab)^{\frac{m}{n}}
a^{\frac{m}{n}}: b^{\frac{m}{n}}=(a:b)^{\frac{m}{n}}
\left ( a^{\frac{m}{n}} \right ) ^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}


Sind r und s rationale Zahlen, dann schreibt es sich einfacher


a^r \cdot a^s = a^{r+s}
a^r : a^s = a^{r-s}
a^r \cdot b^r = (ab)^r
a^r : b^r = (a:b)^r
(a^r)^s = a^{r\cdot s}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Schaue dir die Beispiel im Buch auf S. 114 in der unteren Hälfte und auf S. 115 an.

Beispiele:

Vereinfache so weit als möglich:
\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{5}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=5^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{5^5}\approx 3,82
6^{\frac{1}{2}}: 6^{\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{6}\approx 1,35
4^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2
28^{\frac{1}{3}}: 3,5^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2
7^{2,25}\cdot 7^{1,25}=7^{2,25-1,25}=7^1 =7
\sqrt 5 \cdot \sqrt [3]{25}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=5^{\frac{7}{6}}=\sqrt[6]{5^7}=5\cdot\sqrt[6]{5}\approx 6,54

Radiziere so weit als möglich (teilweises Radizieren)
\sqrt [5]{3072} = \sqrt [5]{3\cdot 1024}=\sqrt [5]{3\cdot 4^5}=4\cdot \sqrt[5]{3}\approx4,98
\sqrt[6]{640}=\sqrt [6]{10\cdot 2^6}=2\sqrt [6]{10}\approx 2,94


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Schaue dir dieses Video an und mache die Rechnungen mit.


Nuvola apps kig.png   Merke

Noch ein paar Tipps bevor es ans Rechnen geht!

Wenn ein Minuszeichen im Exponenten steht, dann beachte, dass a^{-r}=\left ( \frac{1}{a} \right )^r ist.

Bei der Einführung der rationalen Exponenten ist a^{\frac{m}{n}}=\sqrt [n]{a^m}=(\sqrt [n] {a})^m. Hier sieht man, dass der Nenner n des Exponenten für die Wurzel zuständig ist und der Zähler m potenziert.
Man hat auch zwei Möglichkeiten a^{\frac{m}{n}} zu berechnen:
1. a^{\frac{m}{n}} = \sqrt [n]{a^m}, d.h. es wird zuerst die Basis mit m potenziert und dann die m-te Wurzel gezogen.
2. a^{\frac{m}{n}} =(\sqrt [n] {a})^m, d.h. man zieht zuerst aus der Basis die n-te Wurzel und potenziert dann.

Am Beispiel 81^{\frac{3}{4}} sieht man, dass oft der zweite Weg der günstigere ist:
1. 81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{531441} = 27 Hier hilft nur noch der Taschenrechner, das ist im Kopf nicht machbar!
2. 81^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27 Hier blieben die Zahlen klein und überaschaubar.


Wenn der Term z.B. 79^{\frac{3}{4}} ist, dann weiß man, dass 79 eine Primzahl ist und es ist keine Wurzel möglich. Dann lässt man den Term auch gleich als Ergebnis 79^{\frac{3}{4}} stehen.
Man kann auch noch die Schreibweise ändern 79^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{79^3} = \sqrt[4]{493039}, das bringt aber nichts. Einzig einen Näherungswert mit dem Taschenrechner berechnen ist eventuell sinnvoll 79^{\frac{3}{4}} \approx 26,5.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Berechne ohne Taschenrechner.
a) 81^{\frac{1}{4}}; 216^{\frac{1}{3}}; 25^{\frac{3}{2}}; 32^{\frac{3}{5}}; 0,25^2

b) 10000^{-\frac{1}{4} }; 512^{\frac{2}{3} }; 4^{-2,5}; 1024^{1,1}; 343^{\frac{2}{3}}

c) 0,25^{\frac{3}{2}}; 0,008^{-\frac{2}{3}}; \left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}; \left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}; 0,01^3

d) -\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}; \left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}; \left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}; - \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}; -64^{\frac{1}{3}}; \left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}

a) ) 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt [4]{3^4}=3
216^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{6^3}=6
25^{\frac{3}{2}}=(\sqrt {25})^3=5^3=125
32^{\frac{3}{5}}=(\sqrt[5]{2^5})^3=2^3=8
0,25^2=0,0625

b) Es ist oft sinnvoll zuerst die Wurzel zu ziehen (Nenner) und dann zu Potenzieren (Zähler).
10000^{-\frac{1}{4}}=\left ( \frac{1}{10000} \right )^{\frac{1}{4}}=\sqrt [4]{\frac{1}{10^4}}=\frac{1}{10}
512^{\frac{2}{3}}=(\sqrt [3] {512}^2=8^2=64
4^{-2,5}=4^{-\frac{5}{2}}=\left( \frac{1}{4} \right )^{\frac{5}{2}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^5=\frac{1}{32}
1024^{1,1}=(2^10)^{\frac{11}{10}}=2^{11}=2048
343^{\frac{2}{3}}=(7^3)^{\frac{2}{3}}=7^2=49

c) Auch hier zuerst (mit den Nenner) radizieren und dann (mit dem Zähler) potenzieren.
0,25^{\frac{3}{2}}=0,5^3=0,125
0,008^{-\frac{2}{3}}=0,2^{-2}=(\frac{1}{5})^{-2}=25
\left ( \frac{1}{9}\right )^{\frac{3}{2}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2=\frac{1}{9}
\left ( -\frac{1}{27} \right )^{\frac{2}{3}}=\left ( \frac{1}{3} \right )^2 = \frac{1}{9}
0,01^3=0,000001

d) -\left ( \frac{27}{64}\right) ^{\frac{1}{3}}=- \sqrt[3]{\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}
\left ( \frac{27}{64}\right) ^{-\frac{1}{3}}=\left ( \frac{64}{27}\right) ^{\frac{1}{3}}=\sqrt [3]{\frac{64}{27}}=\frac{4}{3}
\left ( \frac{36}{49}\right) ^{-0,5}=\left ( \frac{49}{36}\right) ^{0,5}=\sqrt { \frac{49}{36}}=\frac{7}{6}
- \left ( \frac{81}{256}\right) ^{-0,25}= - \left ( \frac{256}{81}\right) ^{\frac{1}{4}}=-\sqrt[4]{\frac{256}{81}}=-\frac{4}{3}
-64^{\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4

\left (- \frac{16}{625} \right )^{0,75}=\left ( -\frac{16}{625} \right )^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{ -\frac{16}{625}} kann man nicht vereinfachen, da bei einer 4. Wurzel (geraden Wurzel) der Radikand nicht negativ sein darf!
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