M11 Betrag eines Vektors

Merke: Der Betrag $| \vec v |$ des Vektors $\vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ ist $| \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ . Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors $\vec {PQ}$. $|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$

  Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)$?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors $\vec {CD}$ für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right)$ den Betrag 1?

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a) $|\vec v |=\sqrt{21}$
b) $|\vec {AB}|=3\sqrt 6$
c) $|\vec {CD}|=3\sqrt 6$

d) $|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1$, also 0,25 + k² =1 liefert $k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}$

Merke: Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor. Ein Einheitsvektor wird oft mit $\vec e$ bezeichnet. Speziell der Einheitsvektor zum Vektor $\vec v$ wird mit $\vec {v^0}$ bezeichnet. Es ist $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}$

  Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$.
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu $\vec v$ gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu $\vec v$ orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

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1. Der Betrag des Vektors $\vec v$ ist $|\vec v|=3$.
a) $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$
b) $\vec e = -\frac{\vec v}{|\vec v|}=-\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$

2. $\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$

Merke: Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K. M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel. Für die Punkte X gilt: $| \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3 \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r$ Die Gleichung $|\vec {\vec x - \vec m}|=r$ ist die Vektorgleichung, $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ die Koordinatengleichung einer Kugel.

  Aufgabe 3

a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an.
b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?

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a) $|\vec x - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)|=5$ und $(x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=25$
b) $| \vec {MO} |=|\vec o - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{14} < 5$, also liegt O innerhalb der Kugel.
$| \vec {MP} |=|\vec p - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2-2 \\\ 0-3 \\\ 5-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{25} = 5$, also liegt P auf der Kugel.

$| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5$, also liegt Q außerhalb der Kugel.

  Aufgabe 4

Buch S. 105 / 1a,g
Buch S. 105 / 2
Buch S. 105 / 4
Buch S. 105 / 5 a,b

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105/1a $\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) \right| = 6$
g) 1

105/2a) $\left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -1 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=\sqrt 2$
b) $\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}$
c) $\left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right) \right| = \sqrt {13}$
d) $\left | \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -7 \\\ 8 \end{array}\right) \right| =\sqrt {138}$
e) $| \vec a |=| \vec b| = 3$, also $\frac{1}{3}|\vec a + \vec b|=\frac{\sqrt 2}{3}$
f) $\left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 3 \\\ -4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}$

105/4 a) $(\frac{1}{2})^2 + k^2 + (-\frac{1}{3})^2=1$ liefert $k^2 = \frac{23}{36}$, also $k_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{23}}{6}$
b) k = -1
c) es gibt kein k
d) $k_{1,2}=\pm \sqrt 3$
e) $k_{1,2}=\pm \frac{1}{5}$
f) $k_{1,2}=\pm \frac{1}{3}$

105/5a $\left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -3 \end{array}\right) \right| =13$, also $\vec c=\frac{1}{13} \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -3 \end{array}\right)$

b) $\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) \right| =3$, also $\vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$

  Aufgabe 5

Buch S. 105 / 3
Buch S. 106 / 7
Buch S. 106 / 8
Buch S. 106 / 9

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105/3 a) den Betrag $\sqrt {14}$ haben die Vektoren $\vec m, \vec q, \vec t$ , den Betrag 2 haben die Vektoren $\vec n, \vec r$, den Betrag $2 \sqrt 2$ haben die Vektoren $\vec p, \vec s$
b) zueinander parallel sind $\vec m, \vec t$ und $\vec n, \vec p, \vec s$
c) Gegenvektoren sind $\vec m$ und $\vec t$, sowie $\vec p$ und $\vec s$.
d) gleich sind keine der Vektoren

106/7a) $|\vec {AB}|=7$
b) $|\vec {AB}|=10$
c) $|\vec {AB}|=17$

106/8 a) $|\vec {AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ k-1 \\\ -1 \end{array}\right) \right| =\sqrt{64+(k-1)^2+1}=9$ , also $65 + (k-1)^2=81$ --> $(k-1)^2 = 16$ dies liefert zwei Lösungen
$k_1-1=-4 \rightarrow k_1=-3$ und $k_2-1=4 \rightarrow k_2 = 5$
b) k₁=3 und k₂=7

106/9 Die Dreiecksseiten sind $c=|\vec{AB}|, a=|\vec{BC}|, b=|\vec{AC}|$
$c=|\vec{AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt 2$
$a=|\vec{BC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 6 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=6$
$b=|\vec{AC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt {6}$
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: $c^2+a^2=18+36=54=b^2$, also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig.
Der Flächeninhalt ergibt sich zu $A=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt 2 \cdot 6= 9\sqrt 2$

Die Umfangslänge ist $U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)$

Aufgaben zur Kugel

  Aufgabe 6

Buch S. 106 / 10

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106/10a) $K_1: x_1^2+x_2^2+x_3^2=9$
b) $K_2: (x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-6)^2=16$
c) $K_3: (x_1-4)^2+(x_2+4)^2+(x_3-7)^2=144$
d) $K_4: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=11$
e) $K_5: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=1$
f) $K_6: (x_1-1)^2+(x_2-4)^2+(x_3-8)^2=100$

Merke Zwei Kugeln mit den Radien r1 und r2 berühren einander, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte gleich r1 + r2 oder $|r_1-r_2|$ ist. schneiden einander, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte kleiner als r1 + r2 und größer als $|r_1-r_2|$ ist. haben keinen Punkt gemeinsam, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte größer r1 + r2 oder kleiner als $|r_1-r_2|$ ist.

(1) r₁ + r₂ = 7,, $|r_1 - r_2|=1$
$|\vec {M_1M_2}|= \left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 6 \end{array}\right) \right| = 7$, also $|\vec {M_1M_2}| = r_1+r_2$, Aussage wahr

(2) r₁ + r₃ = 15, , $|r_1 - r_3|=9$
$|\vec {M_1M_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 7 \end{array}\right) \right| = 9$, also $|\vec {M_1M_3}| = r_3-r_1$, Aussage wahr

(3) r₂ + r₃ = 16,, $|r_3 - r_2|=7$
$|\vec {M_2M_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ -7 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{86}$, also $7<|\vec {M_2M_3}|<16$, Aussage wahr

(4) r₁ + r₆ = 13,, $|r_1 - r_6|=7$
$|\vec {M_1M_6}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \\\ 8 \end{array}\right) \right| = 9$, also $7<|\vec {M_1M_6}|<13$, Aussage wahr

(5) r₄ + r₅ = 1+$\sqrt {11}$$|r_4 - r_5|=\sqrt {11}-1$
Die Kugeln haben dien gleichen Mittelpunkt, aber verschiedene Radien. $0=|\vec {M_4M_5}|<r_4-r_5$, Aussage wahr

(6) r₁ + r₅ = 4,, $|r_1 - r_5|=2$

$|\vec {M_1M_5}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \right| = 5$, also $|\vec {M_1M_5}|>r_1+r_5$, Aussage falsch

In dem Applet ist eine Kugel K₁ um (0;0;0) mit Radius r₁ = 3 und eine Kugel K₂ um (0;t;0) mit Radius r₂ = 2 dargestellt. Mit dem Schieberegler kann man die Lage des Mittelpunktes der Kugel 2 ändern.

  Aufgabe 7

Buch S. 106 / 11
Buch S. 106 / 12a
Buch S. 106 / 13

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106/11 a) Es ist $|\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 13,5 = r$
Koordinatengleichung: $x_1^2 + x_2^2+x_3^2=182,25$; Vektorgleichung: $\left | \vec x \right | = 13,5$
b) Es ist $|\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 33 = r$
Koordinatengleichung: $(x_1+8)^2 + (x_2+10)^2+(x_3+1)^2=1089$; Vektorgleichung: $\left | \vec x - \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ -10 \\\ -1 \end{array}\right) \right | = 33$ oder $\left | \vec x + \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 10 \\\ 1 \end{array}\right) \right | = 33$

106/12a) $|\vec {AM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ -3 \end{array}\right) \right | = \sqrt {14} < 6$, A liegt innerhalb der Kugel.
$|\vec {BM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ 1 \end{array}\right) \right | = \sqrt {41} > 6$, B liegt außerhalb der Kugel.
$|\vec {CM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right) \right | = 6$, C liegt auf der Kugel.

106/13a) ist eine Kugelgleichung mit M(3;0;-2) und r = 2
b) ist eine Kugelgleichung mit M(-3;4;2) und r O 13
c) ist keine Kugelgleichung (wenn man -1 auf die rechte Seite bringt ist auf der linken Seite die Summe von Quadraten, die nie -1 werden kann)
d) ist eine Kugelgleichung mit M(4;0;-2) und r = 8
f) ist eine Kugelgleichung mit M(0;0;0) und r = 2

Nun muss man wirklich rechnen :-( e) Die Gleichung $x_1^2+x_2^2+x_3^2 +2 x_1-6 x_2+9 = 0$ muss man jetzt in Koordinatenform bringen. Das erfolgt mit quadratischer Ergänzung.
Dazu schreibt man zuerst die Gleichung in dieser Form: $x_1^2+2 x_1+x_2^2-6 x_2+x_3^2 +9 = 0$ und ergänzt "mit 0"
$x_1^2+2 x_1+1-1+x_2^2-6 x_2 + 9 -9 +x_3^2 +9 = 0$
$(x_1^2+2 x_1+1)-1+(x_2^2-6 x_2 + 9) -9 +x_3^2 +9 = 0$ Die Klammern sind mit den binomischen Formeln Quadrate.
$(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 -1 = 0$ oder $(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 = 1$
Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-1;3;0) und r = 1.
g) Man kann die Gleichung umformen in $(x_1-8)^2+(x_2+4)^2-(x_3-3)^2=289$. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(8;-4;3) und r = 17.
h) Man kann die Gleichung umformen in $(x_1+4)^2+x_2^2+x_3^2=25$. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-4,0,0) und r=5.

i) Man kann die Gleichung umformen in $(x_1-1)^2+(x_2-5)^2+(x_3+1)^2=81$. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(1;5;-1) und r=9.