M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merksatz|MERK=Der Betrag <math>| \vec v |</math> des Vektors <math>\vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array}\right)</math> ist  <math> | \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math> .  
 
{{Merksatz|MERK=Der Betrag <math>| \vec v |</math> des Vektors <math>\vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3  \end{array}\right)</math> ist  <math> | \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math> .  
  
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Buch S. 106 / 9<br> }}
 
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{{Lösung versteckt|1=105/3 a) den Betrag <math>\sqrt {14}</math> haben die Vektoren <math>\vec m, \vec q, \vec t</math> , den Betrag 2 haben die Vektoren <math>\vec n, \vec r</math>, den Betrag <math>2 \sqrt 2</math> haben die Vektoren <math> \vec p, \vec s</math>
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{{Lösung versteckt|1=105/3 a) den Betrag <math>\sqrt {14}</math> haben die Vektoren <math>\vec m, \vec q, \vec t</math> , den Betrag 2 haben die Vektoren <math>\vec n, \vec r</math>, den Betrag <math>2 \sqrt 2</math> haben die Vektoren <math> \vec p, \vec s</math><br>
 
b) zueinander parallel sind <math>\vec m, \vec t</math> und <math>\vec n, \vec p, \vec s</math><br>
 
b) zueinander parallel sind <math>\vec m, \vec t</math> und <math>\vec n, \vec p, \vec s</math><br>
 
c) Gegenvektoren sind <math>\vec m</math> und <math>\vec t</math>, sowie <math>\vec p</math> und <math>\vec s</math>.<br>
 
c) Gegenvektoren sind <math>\vec m</math> und <math>\vec t</math>, sowie <math>\vec p</math> und <math>\vec s</math>.<br>
 
d) gleich sind keine der Vektoren
 
d) gleich sind keine der Vektoren
  
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106/7a) <math>|\vec {AB}|=7</math><br>
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b) <math>|\vec {AB}|=10</math><br>
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c) <math>|\vec {AB}|=17</math><br>
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106/8 a) <math> |\vec {AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ k-1 \\\ -1  \end{array}\right) \right| =\sqrt{64+(k-1)^2+1}=9</math> , also <math>65 + (k-1)^2=81</math> --> <math>(k-1)^2 = 16</math> dies liefert zwei Lösungen <br>
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<math>k_1-1=-4 \rightarrow k_1=-3</math> und <math> k_2-1=4 \rightarrow k_2 = 5</math><br>
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b) k<sub>1</sub>=3 und k<sub>2</sub>=7<br>
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106/9 Die Dreiecksseiten sind <math>c=|\vec{AB}|, a=|\vec{BC}|, b=|\vec{AC}|</math><br>
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<math>c=|\vec{AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ -3  \end{array}\right) \right|=3\sqrt 2</math><br>
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<math>a=|\vec{BC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 6 \\\ 0  \end{array}\right) \right|=6</math><br>
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<math>b=|\vec{AC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3  \end{array}\right) \right|=3\sqrt {6}</math><br>
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Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: <math>c^2+a^2=18+36=54=b^2</math>, also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig. <br>
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Der Flächeninhalt ergibt sich zu <math>A=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt 2 \cdot 6= 9\sqrt 2 </math><br>
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Die Umfangslänge ist <math>U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)</math>  }}
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'''Aufgaben zur Kugel'''
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{{Aufgaben-blau|6|2=Buch S. 106 / 10 }}
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{{Lösung versteckt|1=106/10a) <math>K_1: x_1^2+x_2^2+x_3^2=9</math><br>
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b) <math>K_2: (x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-6)^2=16</math><br> 
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c) <math>K_3: (x_1-4)^2+(x_2+4)^2+(x_3-7)^2=144</math><br> 
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d) <math>K_4: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=11</math><br> 
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e) <math>K_5: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=1</math><br> 
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f) <math>K_6: (x_1-1)^2+(x_2-4)^2+(x_3-8)^2=100</math>
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{{Merke|1=Zwei Kugeln mit den Radien r<sub>1</sub> und r<sub>2</sub> <br>
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* berühren einander, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte gleich r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub> oder <math>|r_1-r_2|</math> ist.<br>
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* schneiden einander, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte kleiner als r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub> und größer als  <math>|r_1-r_2|</math> ist.<br>
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* haben keinen Punkt gemeinsam, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte größer r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub> oder kleiner als <math>|r_1-r_2|</math>  ist. }}
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(1) r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub> = 7,, <math>|r_1 - r_2|=1</math><br>
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<math>|\vec {M_1M_2}|= \left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 6  \end{array}\right) \right| = 7 </math>, also <math>|\vec {M_1M_2}| = r_1+r_2</math>,  Aussage wahr
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(2) r<sub>1</sub> + r<sub>3</sub> = 15, , <math>|r_1 - r_3|=9 </math><br>
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<math>|\vec {M_1M_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 7  \end{array}\right) \right| = 9 </math>, also <math>|\vec {M_1M_3}| = r_3-r_1</math>,  Aussage wahr
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(3) r<sub>2</sub> + r<sub>3</sub> = 16,, <math>|r_3 - r_2|=7</math><br>
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<math>|\vec {M_2M_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ -7 \\\ 1  \end{array}\right) \right| = \sqrt{86} </math>, also <math>7<|\vec {M_2M_3}|<16</math>,  Aussage wahr
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(4) r<sub>1</sub> + r<sub>6</sub> = 13,, <math>|r_1 - r_6|=7</math><br>
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<math>|\vec {M_1M_6}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \\\ 8  \end{array}\right) \right| = 9  </math>, also <math>7<|\vec {M_1M_6}|<13</math>,  Aussage wahr
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(5) r<sub>4</sub> + r<sub>5</sub> = 1+<math>\sqrt {11}</math><math>|r_4 - r_5|=\sqrt {11}-1</math><br>
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Die Kugeln haben dien gleichen Mittelpunkt, aber verschiedene Radien.  <math>0=|\vec {M_4M_5}|<r_4-r_5</math>, Aussage wahr
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(6) r<sub>1</sub> + r<sub>5</sub> = 4,, <math>|r_1 - r_5|=2</math><br>
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<math>|\vec {M_1M_5}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 4  \end{array}\right) \right| = 5  </math>, also <math>|\vec {M_1M_5}|>r_1+r_5</math>,  Aussage falsch
 
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In dem Applet ist eine Kugel K<sub>1</sub> um (0;0;0) mit Radius r<sub>1</sub> = 3 und eine Kugel K<sub>2</sub> um (0;t;0) mit Radius r<sub>2</sub> = 2 dargestellt. Mit dem Schieberegler kann man die Lage des Mittelpunktes der Kugel 2 ändern.<br>
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<center><ggb_applet height="400" width="800"
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filename="ZweiKugeln.ggb" /></center>
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{{Aufgaben-blau|7|2= Buch S. 106 / 11<br>
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Buch S. 106 / 12a<br>
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Buch S. 106 / 13 }}
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{{Lösung versteckt|1=106/11 a) Es ist <math>|\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 13,5 = r</math><br>
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Koordinatengleichung: <math>x_1^2 + x_2^2+x_3^2=182,25</math>; Vektorgleichung: <math> \left | \vec x \right | = 13,5</math><br>
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b) Es ist <math>|\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 33 = r</math><br>
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Koordinatengleichung: <math>(x_1+8)^2 + (x_2+10)^2+(x_3+1)^2=1089</math>; Vektorgleichung: <math> \left | \vec x -  \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ -10 \\\ -1  \end{array}\right) \right | = 33</math> oder <math> \left | \vec x +  \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 10 \\\ 1  \end{array}\right) \right | = 33</math>
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106/12a) <math>|\vec {AM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ -3  \end{array}\right) \right | = \sqrt {14} < 6</math>, A liegt innerhalb der Kugel.<br>
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<math>|\vec {BM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ 1  \end{array}\right) \right | = \sqrt {41} > 6</math>, B liegt außerhalb der Kugel.<br>
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<math>|\vec {CM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 4 \\\ -2  \end{array}\right) \right | =  6</math>, C liegt auf der Kugel.
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106/13a) ist eine Kugelgleichung mit M(3;0;-2) und r = 2<br>
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b) ist eine Kugelgleichung mit M(-3;4;2) und r O 13<br>
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c) ist keine Kugelgleichung (wenn man -1 auf die rechte Seite bringt ist auf der linken Seite die Summe von Quadraten, die nie -1 werden kann)<br>
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d) ist eine Kugelgleichung mit M(4;0;-2) und r = 8<br>
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f) ist eine Kugelgleichung mit M(0;0;0) und r = 2<br>
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Nun muss man wirklich rechnen :-(
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e) Die Gleichung <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2 +2 x_1-6 x_2+9 = 0</math> muss man jetzt in Koordinatenform bringen. Das erfolgt mit [http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Erg%C3%A4nzung quadratischer Ergänzung]. <br>
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Dazu schreibt man zuerst die Gleichung in dieser Form:  <math>x_1^2+2 x_1+x_2^2-6 x_2+x_3^2 +9 = 0</math> und ergänzt "mit 0"<br>
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<math>x_1^2+2 x_1+1-1+x_2^2-6 x_2 + 9 -9 +x_3^2 +9 = 0</math><br>
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<math>(x_1^2+2 x_1+1)-1+(x_2^2-6 x_2 + 9) -9 +x_3^2 +9 = 0</math> Die Klammern sind mit den binomischen Formeln Quadrate.<br>
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<math>(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 -1 = 0</math> oder <math>(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 = 1 </math><br>
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Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-1;3;0) und r = 1.<br>
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g) Man kann die Gleichung umformen in <math>(x_1-8)^2+(x_2+4)^2-(x_3-3)^2=289</math>.  Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(8;-4;3) und r = 17. <br>
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h) Man kann die Gleichung umformen in <math>(x_1+4)^2+x_2^2+x_3^2=25</math>. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-4,0,0) und r=5.<br>
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i) Man kann die Gleichung umformen in <math>(x_1-1)^2+(x_2-5)^2+(x_3+1)^2=81</math>. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(1;5;-1) und r=9.  }}
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<center><ggb_applet height="400" width="800"
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filename="106-13ghi.ggb" /></center>

Aktuelle Version vom 25. Januar 2021, 12:58 Uhr

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Betrag | \vec v | des Vektors \vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right) ist | \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2} .

Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors \vec {PQ}.

|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors \vec {CD} für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right) den Betrag 1?

a) |\vec v |=\sqrt{21}
b) |\vec {AB}|=3\sqrt 6
c) |\vec {CD}|=3\sqrt 6

d) |\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1, also 0,25 + k² =1 liefert k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}


Maehnrot.jpg
Merke:

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.
Ein Einheitsvektor wird oft mit \vec e bezeichnet.
Speziell der Einheitsvektor zum Vektor \vec v wird mit \vec {v^0} bezeichnet. Es ist \vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right).
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu \vec v gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu \vec v orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

1. Der Betrag des Vektors \vec v ist |\vec v|=3.
a) \vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)
b) \vec e = -\frac{\vec v}{|\vec v|}=-\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)

2. \vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)


Maehnrot.jpg
Merke:

Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K.
M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel.

Für die Punkte X gilt: | \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3 \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r

Die Gleichung |\vec {\vec x - \vec m}|=r ist die Vektorgleichung, (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2 die Koordinatengleichung einer Kugel.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an.
b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?

a) |\vec x - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)|=5 und (x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=25
b) | \vec {MO} |=|\vec o - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{14} < 5, also liegt O innerhalb der Kugel.
| \vec {MP} |=|\vec p - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2-2 \\\ 0-3 \\\ 5-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{25} = 5, also liegt P auf der Kugel.

| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5, also liegt Q außerhalb der Kugel.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 105 / 1a,g
Buch S. 105 / 2
Buch S. 105 / 4
Buch S. 105 / 5 a,b

105/1a \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) \right| = 6
g) 1

105/2a) \left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -1 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=\sqrt 2
b) \left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}
c) \left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right) \right| = \sqrt {13}
d) \left | \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -7 \\\ 8 \end{array}\right) \right| =\sqrt {138}
e) | \vec a |=| \vec b| = 3, also \frac{1}{3}|\vec a + \vec b|=\frac{\sqrt 2}{3}
f) \left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 3 \\\ -4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}

105/4 a) (\frac{1}{2})^2 + k^2 + (-\frac{1}{3})^2=1 liefert k^2 = \frac{23}{36}, also k_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{23}}{6}
b) k = -1
c) es gibt kein k
d) k_{1,2}=\pm \sqrt 3
e) k_{1,2}=\pm \frac{1}{5}
f) k_{1,2}=\pm \frac{1}{3}

105/5a \left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -3 \end{array}\right) \right| =13, also \vec c=\frac{1}{13} \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -3 \end{array}\right)

b) \left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) \right| =3, also \vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Buch S. 105 / 3
Buch S. 106 / 7
Buch S. 106 / 8
Buch S. 106 / 9

105/3 a) den Betrag \sqrt {14} haben die Vektoren \vec m, \vec q, \vec t , den Betrag 2 haben die Vektoren \vec n, \vec r, den Betrag 2 \sqrt 2 haben die Vektoren \vec p, \vec s
b) zueinander parallel sind \vec m, \vec t und \vec n, \vec p, \vec s
c) Gegenvektoren sind \vec m und \vec t, sowie \vec p und \vec s.
d) gleich sind keine der Vektoren

106/7a) |\vec {AB}|=7
b) |\vec {AB}|=10
c) |\vec {AB}|=17

106/8 a) |\vec {AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ k-1 \\\ -1 \end{array}\right) \right| =\sqrt{64+(k-1)^2+1}=9 , also 65 + (k-1)^2=81 --> (k-1)^2 = 16 dies liefert zwei Lösungen
k_1-1=-4 \rightarrow k_1=-3 und k_2-1=4 \rightarrow k_2 = 5
b) k1=3 und k2=7

106/9 Die Dreiecksseiten sind c=|\vec{AB}|, a=|\vec{BC}|, b=|\vec{AC}|
c=|\vec{AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt 2
a=|\vec{BC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 6 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=6
b=|\vec{AC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt {6}
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: c^2+a^2=18+36=54=b^2, also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig.
Der Flächeninhalt ergibt sich zu A=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt 2 \cdot 6= 9\sqrt 2

Die Umfangslänge ist U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)

Aufgaben zur Kugel


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

Buch S. 106 / 10

106/10a) K_1: x_1^2+x_2^2+x_3^2=9
b) K_2: (x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-6)^2=16
c) K_3: (x_1-4)^2+(x_2+4)^2+(x_3-7)^2=144
d) K_4: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=11
e) K_5: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=1
f) K_6: (x_1-1)^2+(x_2-4)^2+(x_3-8)^2=100

Nuvola apps kig.png   Merke

Zwei Kugeln mit den Radien r1 und r2

  • berühren einander, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte gleich r1 + r2 oder |r_1-r_2| ist.
  • schneiden einander, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte kleiner als r1 + r2 und größer als |r_1-r_2| ist.
  • haben keinen Punkt gemeinsam, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte größer r1 + r2 oder kleiner als |r_1-r_2| ist.

(1) r1 + r2 = 7,, |r_1 - r_2|=1
|\vec {M_1M_2}|= \left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 6 \end{array}\right) \right| = 7 , also |\vec {M_1M_2}| = r_1+r_2, Aussage wahr

(2) r1 + r3 = 15, , |r_1 - r_3|=9
|\vec {M_1M_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 7 \end{array}\right) \right| = 9 , also |\vec {M_1M_3}| = r_3-r_1, Aussage wahr

(3) r2 + r3 = 16,, |r_3 - r_2|=7
|\vec {M_2M_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ -7 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{86} , also 7<|\vec {M_2M_3}|<16, Aussage wahr

(4) r1 + r6 = 13,, |r_1 - r_6|=7
|\vec {M_1M_6}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \\\ 8 \end{array}\right) \right| = 9 , also 7<|\vec {M_1M_6}|<13, Aussage wahr

(5) r4 + r5 = 1+\sqrt {11}|r_4 - r_5|=\sqrt {11}-1
Die Kugeln haben dien gleichen Mittelpunkt, aber verschiedene Radien. 0=|\vec {M_4M_5}|<r_4-r_5, Aussage wahr

(6) r1 + r5 = 4,, |r_1 - r_5|=2

|\vec {M_1M_5}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \right| = 5 , also |\vec {M_1M_5}|>r_1+r_5, Aussage falsch


In dem Applet ist eine Kugel K1 um (0;0;0) mit Radius r1 = 3 und eine Kugel K2 um (0;t;0) mit Radius r2 = 2 dargestellt. Mit dem Schieberegler kann man die Lage des Mittelpunktes der Kugel 2 ändern.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 7

Buch S. 106 / 11
Buch S. 106 / 12a
Buch S. 106 / 13

106/11 a) Es ist |\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 13,5 = r
Koordinatengleichung: x_1^2 + x_2^2+x_3^2=182,25; Vektorgleichung: \left | \vec x \right | = 13,5
b) Es ist |\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 33 = r
Koordinatengleichung: (x_1+8)^2 + (x_2+10)^2+(x_3+1)^2=1089; Vektorgleichung: \left | \vec x - \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ -10 \\\ -1 \end{array}\right) \right | = 33 oder \left | \vec x + \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 10 \\\ 1 \end{array}\right) \right | = 33

106/12a) |\vec {AM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ -3 \end{array}\right) \right | = \sqrt {14} < 6, A liegt innerhalb der Kugel.
|\vec {BM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ 1 \end{array}\right) \right | = \sqrt {41} > 6, B liegt außerhalb der Kugel.
|\vec {CM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right) \right | = 6, C liegt auf der Kugel.

106/13a) ist eine Kugelgleichung mit M(3;0;-2) und r = 2
b) ist eine Kugelgleichung mit M(-3;4;2) und r O 13
c) ist keine Kugelgleichung (wenn man -1 auf die rechte Seite bringt ist auf der linken Seite die Summe von Quadraten, die nie -1 werden kann)
d) ist eine Kugelgleichung mit M(4;0;-2) und r = 8
f) ist eine Kugelgleichung mit M(0;0;0) und r = 2

Nun muss man wirklich rechnen :-( e) Die Gleichung x_1^2+x_2^2+x_3^2 +2 x_1-6 x_2+9 = 0 muss man jetzt in Koordinatenform bringen. Das erfolgt mit quadratischer Ergänzung.
Dazu schreibt man zuerst die Gleichung in dieser Form: x_1^2+2 x_1+x_2^2-6 x_2+x_3^2 +9 = 0 und ergänzt "mit 0"
x_1^2+2 x_1+1-1+x_2^2-6 x_2 + 9 -9 +x_3^2 +9 = 0
(x_1^2+2 x_1+1)-1+(x_2^2-6 x_2 + 9) -9 +x_3^2 +9 = 0 Die Klammern sind mit den binomischen Formeln Quadrate.
(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 -1 = 0 oder (x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 = 1
Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-1;3;0) und r = 1.
g) Man kann die Gleichung umformen in (x_1-8)^2+(x_2+4)^2-(x_3-3)^2=289. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(8;-4;3) und r = 17.
h) Man kann die Gleichung umformen in (x_1+4)^2+x_2^2+x_3^2=25. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-4,0,0) und r=5.

i) Man kann die Gleichung umformen in (x_1-1)^2+(x_2-5)^2+(x_3+1)^2=81. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(1;5;-1) und r=9.
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