M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen

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a) <math>\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2  \end{array}\right)</math><br>
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b) <math>\vec e = -\frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2  \end{array}\right)</math><br>
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2. <math>\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0  \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1  \end{array}\right)</math>  }}

Version vom 18. Januar 2021, 17:05 Uhr

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Betrag | \vec v | des Vektors \vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right) ist | \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2} .

Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors \vec {PQ}.

|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors \vec {CD} für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right) den Betrag 1?

a) |\vec v |=\sqrt{21}
b) |\vec {AB}|=3\sqrt 6
c) |\vec {CD}|=3\sqrt 6

d) |\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1, also 0,25 + k² =1 liefertk_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}.
Maehnrot.jpg
Merke:

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.
Ein Einheitsvektor wird oft mit \vec e bezeichnet.
Speziell der Einheitsvektor zum Vektor \vec v wird mit \vec {v^0} bezeichnet. Es ist \vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right).
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu \vec v gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu \vec v orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

1. Der Betrag des Vektors \vec v ist |\vec v|=3.
a) \vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)
b) \vec e = -\frac{\vec v}{|\vec v|}=-\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)

2. \vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)
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