M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 86: | Zeile 86: | ||
d) gleich sind keine der Vektoren | d) gleich sind keine der Vektoren | ||
− | }} | + | 106/7a) <math>|\vec {AB}|=7</math><br> |
+ | b) <math>|\vec {AB}|=10</math><br> | ||
+ | c) <math>|\vec {AB}|=17</math><br> | ||
+ | |||
+ | 106/8 a) <math> |\vec {AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ k-1 \\\ -1 \end{array}\right) \right| =\sqrt{64+(k-1)^2+1}=9</math> , also <math>65 + (k-1)^2=81</math> --> <math>(k-1)^2 = 16</math> dies liefert zwei Lösungen <br> | ||
+ | <math>k_1-1=-4 \rightarrow k_1=-3</math> und <math> k_2-1=4 \rightarrow k_2 = 5</math><br> | ||
+ | b) k<sub>1</sub>=3 und k<sub>2</sub>=7<br> | ||
+ | |||
+ | 106/9 Die Dreiecksseiten sind <math>c=|\vec{AB}|, a=|\vec{BC}|, b=|\vec{AC}|</math><br> | ||
+ | <math>c=|\vec{AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt 2</math><br> | ||
+ | <math>a=|\vec{BC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 6 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=6</math><br> | ||
+ | <math>b=|\vec{AC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt {6}</math><br> | ||
+ | Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: <math>c^2+a^2=18+36=54=b^2</math>, also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig. <br> | ||
+ | Der Flächeninhalt ergibt sich zu <math>A=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt 2 \cdot 6= 9\sqrt 2 </math><br> | ||
+ | Die Umfangslänge ist <math>U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)</math> }} |
Version vom 19. Januar 2021, 12:43 Uhr
Merke:
Der Betrag Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors ![]() |
a)
b)
c)
![|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1](/images/math/5/3/1/5310c559af2116c511e7e2bb41b189be.png)
![k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}](/images/math/1/6/7/167b81fb08eb84e91ad9020945fa4a84.png)
Merke:
Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor. |
1. Der Betrag des Vektors ist
.
a)
b)
![\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)](/images/math/d/7/1/d710e86023e0d7a33b81e91590021021.png)
Merke:
Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K. Für die Punkte X gilt: Die Gleichung |
a) und
b) , also liegt O innerhalb der Kugel.
, also liegt P auf der Kugel.
![| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5](/images/math/0/3/2/032d2ec38ef694b56941bade0cbd69ef.png)
105/1a
g) 1
105/2a)
b)
c)
d)
e) , also
f)
105/4 a) liefert
, also
b) k = -1
c) es gibt kein k
d)
e)
f)
105/5a , also
![\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) \right| =3](/images/math/5/f/1/5f1f7b12942a742548efcffb546a4074.png)
![\vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)](/images/math/0/8/0/080f5b3f72e4ad1cb93eab8ad2a10a04.png)
105/3 a) den Betrag haben die Vektoren
, den Betrag 2 haben die Vektoren
, den Betrag
haben die Vektoren
b) zueinander parallel sind und
c) Gegenvektoren sind und
, sowie
und
.
d) gleich sind keine der Vektoren
106/7a)
b)
c)
106/8 a) , also
-->
dies liefert zwei Lösungen
und
b) k1=3 und k2=7
106/9 Die Dreiecksseiten sind
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: , also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig.
Der Flächeninhalt ergibt sich zu
![U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)](/images/math/4/5/2/45262a0e57d8d420b381f02b749c678b.png)