M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen
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Der Flächeninhalt ergibt sich zu <math>A=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt 2 \cdot 6= 9\sqrt 2 </math><br> | Der Flächeninhalt ergibt sich zu <math>A=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt 2 \cdot 6= 9\sqrt 2 </math><br> | ||
Die Umfangslänge ist <math>U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)</math> }} | Die Umfangslänge ist <math>U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)</math> }} | ||
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+ | {{Aufgaben-blau|6|2=Aufgaben zur Kugel<br> | ||
+ | Buch S. 106 / 10 }} | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=106/10a) <math>K_1: x_1^2+x_2^2+x_3^2=9</math><br> | ||
+ | b) <math>K_2: (x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-6)^2=16</math><br> | ||
+ | c) <math>K_3: (x_1-4)^2+(x_2+4)^2+(x_3-7)^2=144</math><br> | ||
+ | d) <math>K_4: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=11</math><br> | ||
+ | e) <math>K_5: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=1</math><br> | ||
+ | f) <math>K_6: (x_1-1)^2+(x_2-4)^2+(x_3-8)^2=100</math> | ||
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+ | {{Merke|1=Zwei Kugeln mit den Radien r<sub>1</sub> und r<sub>2</sub> <br> | ||
+ | * berühren einander, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte gleich r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub> oder |r<sub>1</sub>-r<sub>2</sub>| ist.<br> | ||
+ | * schneiden einander, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte kleiner als r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub> und größer als |r<sub>1</sub>-r<sub>2</sub>| ist.<br> | ||
+ | * haben keinen Punkt gemeinsam, wenn der Abstand ihrer Mittelpunkte größer r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub> ist. }} | ||
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+ | (1) r<sub>1</sub> + r<sub>2</sub> = 7<br> | ||
+ | <math>|\vec {K_1K_2}|= \left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 6 \end{array}\right) \right| = 7 </math> Aussage wahr<br> | ||
+ | (2) r<sub>1</sub> + r<sub>3</sub> = 15<br> | ||
+ | <math>|\vec {K_1K_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 7 \end{array}\right) \right| = 9 < 15</math> Aussage falsch<br> | ||
+ | (3) r<sub>2</sub> + r<sub>3</sub> = 16<br> | ||
+ | <math>|\vec {K_2K_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ -7 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{86} < 16</math> Aussage wahr<br> | ||
+ | (4) r<sub>1</sub> + r<sub>6</sub> = 13<br> | ||
+ | <math>|\vec {K_1K_6}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \\\ 8 \end{array}\right) \right| = 9 < 13 </math> Aussage wahr<br> | ||
+ | (5) r<sub>4</sub> + r<sub>5</sub> = 1+\sqrt {11}<br> | ||
+ | Die Kugeln haben dien gleichen Mittelpunkt, aber verschiedene Radien. Aussage wahr<br> | ||
+ | (6) r<sub>1</sub> + r<sub>5</sub> = 4<br> | ||
+ | <math>|\vec {K_1K_5}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ -2 \end{array}\right) \right| = 2\sqrt {11} > 4 </math> Aussage falsch | ||
+ | }} | ||
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+ | {{Aufgaben-blau|7|2= Buch S. 106 / 11<br> | ||
+ | Buch S. 106 / 12<br> | ||
+ | Buch S. 106 / 13 }} | ||
+ | |||
+ | {{Lösung versteckt|1=106/10a) <math>K_1: x_1^2+x_2^2+x_3^2=9</math><br> | ||
+ | b) <math>K_2: (x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-6)^2=16</math><br> | ||
+ | c) <math>K_3: (x_1-4)^2+(x_2+4)^2+(x_3-7)^2=144</math><br> | ||
+ | d) <math>K_4: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=11</math><br> | ||
+ | e) <math>K_5: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=1</math><br> | ||
+ | f) <math>K_6: (x_1-1)^2+(x_2-4)^2+(x_3-8)^2=100</math> | ||
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Version vom 19. Januar 2021, 13:21 Uhr
Merke:
Der Betrag Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors ![]() |
a)
b)
c)
![|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1](/images/math/5/3/1/5310c559af2116c511e7e2bb41b189be.png)
![k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}](/images/math/1/6/7/167b81fb08eb84e91ad9020945fa4a84.png)
Merke:
Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor. |
1. Der Betrag des Vektors ist
.
a)
b)
![\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)](/images/math/d/7/1/d710e86023e0d7a33b81e91590021021.png)
Merke:
Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K. Für die Punkte X gilt: Die Gleichung |
a) und
b) , also liegt O innerhalb der Kugel.
, also liegt P auf der Kugel.
![| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5](/images/math/0/3/2/032d2ec38ef694b56941bade0cbd69ef.png)
105/1a
g) 1
105/2a)
b)
c)
d)
e) , also
f)
105/4 a) liefert
, also
b) k = -1
c) es gibt kein k
d)
e)
f)
105/5a , also
![\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) \right| =3](/images/math/5/f/1/5f1f7b12942a742548efcffb546a4074.png)
![\vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)](/images/math/0/8/0/080f5b3f72e4ad1cb93eab8ad2a10a04.png)
105/3 a) den Betrag haben die Vektoren
, den Betrag 2 haben die Vektoren
, den Betrag
haben die Vektoren
b) zueinander parallel sind und
c) Gegenvektoren sind und
, sowie
und
.
d) gleich sind keine der Vektoren
106/7a)
b)
c)
106/8 a) , also
-->
dies liefert zwei Lösungen
und
b) k1=3 und k2=7
106/9 Die Dreiecksseiten sind
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: , also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig.
Der Flächeninhalt ergibt sich zu
![U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)](/images/math/4/5/2/45262a0e57d8d420b381f02b749c678b.png)
106/10a)
b)
c)
d)
e)
f)
r1-r2 |
(1) r1 + r2 = 7
Aussage wahr
(2) r1 + r3 = 15
Aussage falsch
(3) r2 + r3 = 16
Aussage wahr
(4) r1 + r6 = 13
Aussage wahr
(5) r4 + r5 = 1+\sqrt {11}
Die Kugeln haben dien gleichen Mittelpunkt, aber verschiedene Radien. Aussage wahr
(6) r1 + r5 = 4
![|\vec {K_1K_5}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ -2 \end{array}\right) \right| = 2\sqrt {11} > 4](/images/math/3/e/b/3eb6b9b9aa3014f23186e5a07416fe64.png)
106/10a)
b)
c)
d)
e)
![K_6: (x_1-1)^2+(x_2-4)^2+(x_3-8)^2=100](/images/math/5/0/c/50c8cc422913669285ae0dac9fb4dc02.png)