M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 109: | Zeile 109: | ||
{{Aufgaben-blau|7|2= Buch S. 106 / 11<br> | {{Aufgaben-blau|7|2= Buch S. 106 / 11<br> | ||
− | Buch S. 106 / | + | Buch S. 106 / 12a<br> |
Buch S. 106 / 13 }} | Buch S. 106 / 13 }} | ||
− | {{Lösung versteckt|1= | + | {{Lösung versteckt|1=106/11 a) Es ist <math>|\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 13,5 = r</math><br> |
+ | Koordinatengleichung: <math>x_1^2 + x_2^2+x_3^2=182,25</math>; Vektorgleichung: <math> \left | \vec x \right | = 13,5</math><br> | ||
+ | b) Es ist <math>|\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 33 = r</math><br> | ||
+ | Koordinatengleichung: <math>(x_1+8)^2 + (x_2+10)^2+(x_3+1)^2=1089</math>; Vektorgleichung: <math> \left | \vec x - \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ -10 \\\ -1 \end{array}\right) \right | = 33</math> oder <math> \left | \vec x + \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 10 \\\ 1 \end{array}\right) \right | = 33</math> | ||
− | }} | + | 106/12a) <math>|\vec {AM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ -3 \end{array}\right) \right | = \sqrt {14} < 6</math>, A liegt innerhalb der Kugel.<br> |
+ | <math>|\vec {BM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ 1 \end{array}\right) \right | = \sqrt {41} > 6</math>, B liegt außerhalb der Kugel.<br> | ||
+ | <math>|\vec {CM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right) \right | = 6</math>, C liegt auf der Kugel. | ||
+ | |||
+ | 106/13a) ist eine Kugelgleichung mit M(3;0;-2) und r = 2<br> | ||
+ | b) ist eine Kugelgleichung mit M(-3;4;2) und r O 13<br> | ||
+ | c) ist keine Kugelgleichung (wenn man -1 auf die rechte Seite bringt ist auf der linken Seite die Summe von Quadraten, die nie -1 werden kann)<br> | ||
+ | d) ist eine Kugelgleichung mit M(4;0;-2) und r = 8<br> | ||
+ | f) ist eine Kugelgleichung mit M(0;0;0) und r = 2<br> | ||
+ | |||
+ | Nun muss man wirklich rechnen :-( | ||
+ | e) Die Gleichung <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2 +2 x_1-6 x_2+9 = 0</math> muss man jetzt in Koordinatenform bringen. Das erfolgt mit [http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Erg%C3%A4nzung quadratischer Ergänzung]. <br> | ||
+ | Dazu schreibt man zuerst die Gleichung in dieser Form: <math>x_1^2+2 x_1+x_2^2-6 x_2+x_3^2 +9 = 0</math> und ergänzt "mit 0"<br> | ||
+ | <math>x_1^2+2 x_1+1-1+x_2^2-6 x_2 + 9 -9 +x_3^2 +9 = 0</math><br> | ||
+ | <math>(x_1^2+2 x_1+1)-1+(x_2^2-6 x_2 + 9) -9 +x_3^2 +9 = 0</math> Die Klammern sind mit den binomischen Formeln Quadrate.<br> | ||
+ | <math>(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 -1 = 0</math> oder <math>(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 = 1 </math><br> | ||
+ | Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-1;3;0) und r = 1.<br> | ||
+ | g) Man kann die Gleichung umformen in <math>(x_1-8)^2+(x_2+4)^2-(x_3-3)^2=289</math>. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-8;-4;3) und r = 17. | ||
+ | h) Man kann die Gleichung umformen in <math>(x_1+4)^2+x_2^2+x_3^2=25</math>. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-4,0,0) und r=5.<br> | ||
+ | i) Man kann die Gleichung umformen in <math>8x_1-1)^2+(x_2-5)^2+(x_3+1)^2=81</math>. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(1;5;-1) und r=2. }} |
Version vom 19. Januar 2021, 14:45 Uhr
Merke:
Der Betrag Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors ![]() |
a)
b)
c)
![|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1](/images/math/5/3/1/5310c559af2116c511e7e2bb41b189be.png)
![k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}](/images/math/1/6/7/167b81fb08eb84e91ad9020945fa4a84.png)
Merke:
Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor. |
1. Der Betrag des Vektors ist
.
a)
b)
![\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)](/images/math/d/7/1/d710e86023e0d7a33b81e91590021021.png)
Merke:
Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K. Für die Punkte X gilt: Die Gleichung |
a) und
b) , also liegt O innerhalb der Kugel.
, also liegt P auf der Kugel.
![| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5](/images/math/0/3/2/032d2ec38ef694b56941bade0cbd69ef.png)
105/1a
g) 1
105/2a)
b)
c)
d)
e) , also
f)
105/4 a) liefert
, also
b) k = -1
c) es gibt kein k
d)
e)
f)
105/5a , also
![\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) \right| =3](/images/math/5/f/1/5f1f7b12942a742548efcffb546a4074.png)
![\vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)](/images/math/0/8/0/080f5b3f72e4ad1cb93eab8ad2a10a04.png)
105/3 a) den Betrag haben die Vektoren
, den Betrag 2 haben die Vektoren
, den Betrag
haben die Vektoren
b) zueinander parallel sind und
c) Gegenvektoren sind und
, sowie
und
.
d) gleich sind keine der Vektoren
106/7a)
b)
c)
106/8 a) , also
-->
dies liefert zwei Lösungen
und
b) k1=3 und k2=7
106/9 Die Dreiecksseiten sind
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: , also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig.
Der Flächeninhalt ergibt sich zu
![U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)](/images/math/4/5/2/45262a0e57d8d420b381f02b749c678b.png)
Aufgaben zur Kugel
106/11 a) Es ist
Koordinatengleichung: ; Vektorgleichung:
b) Es ist
Koordinatengleichung: ; Vektorgleichung:
oder
106/12a) , A liegt innerhalb der Kugel.
, B liegt außerhalb der Kugel.
, C liegt auf der Kugel.
106/13a) ist eine Kugelgleichung mit M(3;0;-2) und r = 2
b) ist eine Kugelgleichung mit M(-3;4;2) und r O 13
c) ist keine Kugelgleichung (wenn man -1 auf die rechte Seite bringt ist auf der linken Seite die Summe von Quadraten, die nie -1 werden kann)
d) ist eine Kugelgleichung mit M(4;0;-2) und r = 8
f) ist eine Kugelgleichung mit M(0;0;0) und r = 2
Nun muss man wirklich rechnen :-(
e) Die Gleichung muss man jetzt in Koordinatenform bringen. Das erfolgt mit quadratischer Ergänzung.
Dazu schreibt man zuerst die Gleichung in dieser Form: und ergänzt "mit 0"
Die Klammern sind mit den binomischen Formeln Quadrate.
oder
Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-1;3;0) und r = 1.
g) Man kann die Gleichung umformen in . Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-8;-4;3) und r = 17.
h) Man kann die Gleichung umformen in
. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-4,0,0) und r=5.
![8x_1-1)^2+(x_2-5)^2+(x_3+1)^2=81](/images/math/c/3/2/c325b139ba6fc0217cd206847de80012.png)