M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 18. Januar 2021, 17:39 Uhr

Merke:

Der Betrag $| \vec v |$ des Vektors $\vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ ist $| \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ .

Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors $\vec {PQ}$ .

$|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$

Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)$ ?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors $\vec {CD}$ für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right)$ den Betrag 1?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $|\vec v |=\sqrt{21}$
b) $|\vec {AB}|=3\sqrt 6$
c) $|\vec {CD}|=3\sqrt 6$

d) $|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1$ , also 0,25 + k² =1 liefert $k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}$ .

Merke:

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.
Ein Einheitsvektor wird oft mit $\vec e$ bezeichnet.
Speziell der Einheitsvektor zum Vektor $\vec v$ wird mit $\vec {v^0}$ bezeichnet. Es ist $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}$

Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$ .
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu $\vec v$ gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu $\vec v$ orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Der Betrag des Vektors $\vec v$ ist $|\vec v|=3$ .
a) $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$
b) $\vec e = -\frac{\vec v}{|\vec v|}=-\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$

2. $\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$

Merke:

Alle Punkte X(x₁,x₂,x₃) im Raum, die von einem Punkt M(m₁,m₂,m₃) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K.
M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel.

Für die Punkte X gilt: $| \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3 \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r$

Die Gleichung $|\vec {\vec x - \vec m}|=r$ ist die Vektorgleichung, $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ die Koordinatengleichung einer Kugel.

Aufgabe 3

a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an.
b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $|\vec x - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)|=5$ und $(x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=25$
b) $| \vec {MO} |=|\vec o - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{14} < 5$ , also liegt O innerhalb der Kugel.
$| \vec {MP} |=|\vec p - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2-2 \\\ 0-3 \\\ 5-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{25} = 5$ , also liegt P auf der Kugel.

$| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5$ , also liegt Q außerhalb der Kugel.

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 . <math>\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0  \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1  \end{array}\right)</math>  }}
+{{Merksatz|MERK=Alle Punkte X(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>) im Raum, die von einem Punkt M(m<sub>1</sub>,m<sub>2</sub>,m<sub>3</sub>) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K. <br>
+M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel.
+Für die Punkte X gilt: <math>| \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3  \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r</math>
+Die Gleichung <math>|\vec {\vec x - \vec m}|=r</math> ist die Vektorgleichung, <math>(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2</math> die Koordinatengleichung einer Kugel.  }}
+{{Aufgaben-blau|3|2=a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an. <br>
+b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?  }}
+{{Lösung versteckt|1=a) <math>|\vec x - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1  \end{array}\right)|=5</math> und <math>(x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=25</math>  <br>
+b)  <math>| \vec {MO} |=|\vec o - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1  \end{array}\right) \right| = \sqrt{14} < 5</math>, also liegt O innerhalb der Kugel.<br>
+<math>| \vec {MP} |=|\vec p - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2-2 \\\ 0-3 \\\ 5-1  \end{array}\right) \right| = \sqrt{25} = 5</math>, also liegt P auf der Kugel.<br>
+ <math>| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1  \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5</math>, also liegt Q außerhalb der Kugel. }}

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