M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen

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e) <math>k_{1,2}=\pm \frac{1}{5}</math><br>
 
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b) <math>\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2  \end{array}\right) \right| =3</math>, also <math>\vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2  \end{array}\right) </math><br>
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Buch S. 106 / 8<br>
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Buch S. 106 / 9<br> }}
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{{Lösung versteckt|1=105/3 a) den Betrag <math>\sqrt {14}</math> haben die Vektoren <math>\vec m, \vec q, \vec t</math> , den Betrag 2 haben die Vektoren <math>\vec n, \vec r</math>, den Betrag <math>2 \sqrt 2</math> haben die Vektoren <math> \vec p, \vec s</math>
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b) zueinander parallel sind <math>\vec m, \vec t</math> und <math>\vec n, \vec p, \vec s</math><br>
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c) Gegenvektoren sind <math>\vec m</math> und <math>\vec t</math>, sowie <math>\vec p</math> und <math>\vec s</math>.<br>
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d) gleich sind keine der Vektoren
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Version vom 19. Januar 2021, 10:25 Uhr

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Betrag | \vec v | des Vektors \vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right) ist | \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2} .

Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors \vec {PQ}.

|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors \vec {CD} für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right) den Betrag 1?

[Lösung anzeigen]


Maehnrot.jpg
Merke:

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.
Ein Einheitsvektor wird oft mit \vec e bezeichnet.
Speziell der Einheitsvektor zum Vektor \vec v wird mit \vec {v^0} bezeichnet. Es ist \vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right).
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu \vec v gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu \vec v orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

[Lösung anzeigen]


Maehnrot.jpg
Merke:

Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K.
M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel.

Für die Punkte X gilt: | \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3 \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r

Die Gleichung |\vec {\vec x - \vec m}|=r ist die Vektorgleichung, (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2 die Koordinatengleichung einer Kugel.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an.
b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 105 / 1a,g
Buch S. 105 / 2
Buch S. 105 / 4
Buch S. 105 / 5 a,b

[Lösung anzeigen]


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Buch S. 105 / 3
Buch S. 106 / 7
Buch S. 106 / 8
Buch S. 106 / 9

[Lösung anzeigen]

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