M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. Januar 2021, 10:27 Uhr

Merke:

Der Betrag $| \vec v |$ des Vektors $\vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ ist $| \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ .

Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors $\vec {PQ}$ .

$|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$

Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)$ ?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors $\vec {CD}$ für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right)$ den Betrag 1?

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Merke:

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.
Ein Einheitsvektor wird oft mit $\vec e$ bezeichnet.
Speziell der Einheitsvektor zum Vektor $\vec v$ wird mit $\vec {v^0}$ bezeichnet. Es ist $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}$

Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$ .
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu $\vec v$ gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu $\vec v$ orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

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Merke:

Alle Punkte X(x₁,x₂,x₃) im Raum, die von einem Punkt M(m₁,m₂,m₃) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K.
M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel.

Für die Punkte X gilt: $| \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3 \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r$

Die Gleichung $|\vec {\vec x - \vec m}|=r$ ist die Vektorgleichung, $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ die Koordinatengleichung einer Kugel.

Aufgabe 3

a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an.
b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?

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Aufgabe 4

Buch S. 105 / 1a,g
Buch S. 105 / 2
Buch S. 105 / 4
Buch S. 105 / 5 a,b

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Aufgabe 5

Buch S. 105 / 3
Buch S. 106 / 7
Buch S. 106 / 8
Buch S. 106 / 9

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 Buch S. 106 / 9<br> }}
-{{Lösung versteckt|1=105/3 a) den Betrag <math>\sqrt {14}</math> haben die Vektoren <math>\vec m, \vec q, \vec t</math> , den Betrag 2 haben die Vektoren <math>\vec n, \vec r</math>, den Betrag <math>2 \sqrt 2</math> haben die Vektoren <math> \vec p, \vec s</math>
+{{Lösung versteckt|1=105/3 a) den Betrag <math>\sqrt {14}</math> haben die Vektoren <math>\vec m, \vec q, \vec t</math> , den Betrag 2 haben die Vektoren <math>\vec n, \vec r</math>, den Betrag <math>2 \sqrt 2</math> haben die Vektoren <math> \vec p, \vec s</math><br>
 b) zueinander parallel sind <math>\vec m, \vec t</math> und <math>\vec n, \vec p, \vec s</math><br>
 c) Gegenvektoren sind <math>\vec m</math> und <math>\vec t</math>, sowie <math>\vec p</math> und <math>\vec s</math>.<br>

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