M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen

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Koordinatengleichung: <math>x_1^2 + x_2^2+x_3^2=182,25</math>; Vektorgleichung: <math> \left | \vec x \right | = 13,5</math><br>
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106/12a) <math>|\vec {AM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ -3  \end{array}\right) \right | = \sqrt {14} < 6</math>, A liegt innerhalb der Kugel.<br>
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<math>|\vec {BM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ 1  \end{array}\right) \right | = \sqrt {41} > 6</math>, B liegt außerhalb der Kugel.<br>
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<math>|\vec {CM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 4 \\\ -2  \end{array}\right) \right | =  6</math>, C liegt auf der Kugel.
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106/13a) ist eine Kugelgleichung mit M(3;0;-2) und r = 2<br>
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b) ist eine Kugelgleichung mit M(-3;4;2) und r O 13<br>
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c) ist keine Kugelgleichung (wenn man -1 auf die rechte Seite bringt ist auf der linken Seite die Summe von Quadraten, die nie -1 werden kann)<br>
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d) ist eine Kugelgleichung mit M(4;0;-2) und r = 8<br>
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f) ist eine Kugelgleichung mit M(0;0;0) und r = 2<br>
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Nun muss man wirklich rechnen :-(
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e) Die Gleichung <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2 +2 x_1-6 x_2+9 = 0</math> muss man jetzt in Koordinatenform bringen. Das erfolgt mit [http://medienvielfalt.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Erg%C3%A4nzung quadratischer Ergänzung]. <br>
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Dazu schreibt man zuerst die Gleichung in dieser Form:  <math>x_1^2+2 x_1+x_2^2-6 x_2+x_3^2 +9 = 0</math> und ergänzt "mit 0"<br>
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<math>x_1^2+2 x_1+1-1+x_2^2-6 x_2 + 9 -9 +x_3^2 +9 = 0</math><br>
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<math>(x_1^2+2 x_1+1)-1+(x_2^2-6 x_2 + 9) -9 +x_3^2 +9 = 0</math> Die Klammern sind mit den binomischen Formeln Quadrate.<br>
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<math>(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 -1 = 0</math> oder <math>(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 = 1 </math><br>
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Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-1;3;0) und r = 1.<br>
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g) Man kann die Gleichung umformen in <math>(x_1-8)^2+(x_2+4)^2-(x_3-3)^2=289</math>.  Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-8;-4;3) und r = 17.
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h) Man kann die Gleichung umformen in <math>(x_1+4)^2+x_2^2+x_3^2=25</math>. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-4,0,0) und r=5.<br>
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i) Man kann die Gleichung umformen in <math>8x_1-1)^2+(x_2-5)^2+(x_3+1)^2=81</math>. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(1;5;-1) und r=2. }}

Version vom 19. Januar 2021, 14:45 Uhr

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Betrag | \vec v | des Vektors \vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right) ist | \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2} .

Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors \vec {PQ}.

|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors \vec {CD} für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right) den Betrag 1?

a) |\vec v |=\sqrt{21}
b) |\vec {AB}|=3\sqrt 6
c) |\vec {CD}|=3\sqrt 6

d) |\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1, also 0,25 + k² =1 liefert k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}


Maehnrot.jpg
Merke:

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.
Ein Einheitsvektor wird oft mit \vec e bezeichnet.
Speziell der Einheitsvektor zum Vektor \vec v wird mit \vec {v^0} bezeichnet. Es ist \vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor \vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right).
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu \vec v gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu \vec v orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

1. Der Betrag des Vektors \vec v ist |\vec v|=3.
a) \vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)
b) \vec e = -\frac{\vec v}{|\vec v|}=-\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)

2. \vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)


Maehnrot.jpg
Merke:

Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K.
M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel.

Für die Punkte X gilt: | \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3 \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r

Die Gleichung |\vec {\vec x - \vec m}|=r ist die Vektorgleichung, (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2 die Koordinatengleichung einer Kugel.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an.
b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?

a) |\vec x - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)|=5 und (x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=25
b) | \vec {MO} |=|\vec o - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{14} < 5, also liegt O innerhalb der Kugel.
| \vec {MP} |=|\vec p - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2-2 \\\ 0-3 \\\ 5-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{25} = 5, also liegt P auf der Kugel.

| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5, also liegt Q außerhalb der Kugel.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 105 / 1a,g
Buch S. 105 / 2
Buch S. 105 / 4
Buch S. 105 / 5 a,b

105/1a \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) \right| = 6
g) 1

105/2a) \left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -1 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=\sqrt 2
b) \left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}
c) \left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right) \right| = \sqrt {13}
d) \left | \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -7 \\\ 8 \end{array}\right) \right| =\sqrt {138}
e) | \vec a |=| \vec b| = 3, also \frac{1}{3}|\vec a + \vec b|=\frac{\sqrt 2}{3}
f) \left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 3 \\\ -4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}

105/4 a) (\frac{1}{2})^2 + k^2 + (-\frac{1}{3})^2=1 liefert k^2 = \frac{23}{36}, also k_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{23}}{6}
b) k = -1
c) es gibt kein k
d) k_{1,2}=\pm \sqrt 3
e) k_{1,2}=\pm \frac{1}{5}
f) k_{1,2}=\pm \frac{1}{3}

105/5a \left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -3 \end{array}\right) \right| =13, also \vec c=\frac{1}{13} \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -3 \end{array}\right)

b) \left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) \right| =3, also \vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Buch S. 105 / 3
Buch S. 106 / 7
Buch S. 106 / 8
Buch S. 106 / 9

105/3 a) den Betrag \sqrt {14} haben die Vektoren \vec m, \vec q, \vec t , den Betrag 2 haben die Vektoren \vec n, \vec r, den Betrag 2 \sqrt 2 haben die Vektoren \vec p, \vec s
b) zueinander parallel sind \vec m, \vec t und \vec n, \vec p, \vec s
c) Gegenvektoren sind \vec m und \vec t, sowie \vec p und \vec s.
d) gleich sind keine der Vektoren

106/7a) |\vec {AB}|=7
b) |\vec {AB}|=10
c) |\vec {AB}|=17

106/8 a) |\vec {AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ k-1 \\\ -1 \end{array}\right) \right| =\sqrt{64+(k-1)^2+1}=9 , also 65 + (k-1)^2=81 --> (k-1)^2 = 16 dies liefert zwei Lösungen
k_1-1=-4 \rightarrow k_1=-3 und k_2-1=4 \rightarrow k_2 = 5
b) k1=3 und k2=7

106/9 Die Dreiecksseiten sind c=|\vec{AB}|, a=|\vec{BC}|, b=|\vec{AC}|
c=|\vec{AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt 2
a=|\vec{BC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 6 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=6
b=|\vec{AC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt {6}
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: c^2+a^2=18+36=54=b^2, also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig.
Der Flächeninhalt ergibt sich zu A=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt 2 \cdot 6= 9\sqrt 2

Die Umfangslänge ist U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)

Aufgaben zur Kugel


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

HA Buch S. 106 / 10



Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 7

Buch S. 106 / 11
Buch S. 106 / 12a
Buch S. 106 / 13

106/11 a) Es ist |\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 13,5 = r
Koordinatengleichung: x_1^2 + x_2^2+x_3^2=182,25; Vektorgleichung: \left | \vec x \right | = 13,5
b) Es ist |\vec {AM}| =|\vec {BM}|=|\vec {CM}|=|\vec {DM}|= 33 = r
Koordinatengleichung: (x_1+8)^2 + (x_2+10)^2+(x_3+1)^2=1089; Vektorgleichung: \left | \vec x - \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ -10 \\\ -1 \end{array}\right) \right | = 33 oder \left | \vec x + \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ 10 \\\ 1 \end{array}\right) \right | = 33

106/12a) |\vec {AM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ -3 \end{array}\right) \right | = \sqrt {14} < 6, A liegt innerhalb der Kugel.
|\vec {BM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ 1 \end{array}\right) \right | = \sqrt {41} > 6, B liegt außerhalb der Kugel.
|\vec {CM}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 4 \\\ -2 \end{array}\right) \right | = 6, C liegt auf der Kugel.

106/13a) ist eine Kugelgleichung mit M(3;0;-2) und r = 2
b) ist eine Kugelgleichung mit M(-3;4;2) und r O 13
c) ist keine Kugelgleichung (wenn man -1 auf die rechte Seite bringt ist auf der linken Seite die Summe von Quadraten, die nie -1 werden kann)
d) ist eine Kugelgleichung mit M(4;0;-2) und r = 8
f) ist eine Kugelgleichung mit M(0;0;0) und r = 2

Nun muss man wirklich rechnen :-( e) Die Gleichung x_1^2+x_2^2+x_3^2 +2 x_1-6 x_2+9 = 0 muss man jetzt in Koordinatenform bringen. Das erfolgt mit quadratischer Ergänzung.
Dazu schreibt man zuerst die Gleichung in dieser Form: x_1^2+2 x_1+x_2^2-6 x_2+x_3^2 +9 = 0 und ergänzt "mit 0"
x_1^2+2 x_1+1-1+x_2^2-6 x_2 + 9 -9 +x_3^2 +9 = 0
(x_1^2+2 x_1+1)-1+(x_2^2-6 x_2 + 9) -9 +x_3^2 +9 = 0 Die Klammern sind mit den binomischen Formeln Quadrate.
(x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 -1 = 0 oder (x_1+1)^2+(x_2-3)^2 +x_3^2 = 1
Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-1;3;0) und r = 1.
g) Man kann die Gleichung umformen in (x_1-8)^2+(x_2+4)^2-(x_3-3)^2=289. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-8;-4;3) und r = 17. h) Man kann die Gleichung umformen in (x_1+4)^2+x_2^2+x_3^2=25. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-4,0,0) und r=5.

i) Man kann die Gleichung umformen in 8x_1-1)^2+(x_2-5)^2+(x_3+1)^2=81. Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(1;5;-1) und r=2.
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