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| | [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Geraden/index.htm Geradengleichungen] | | [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Geraden/index.htm Geradengleichungen] |
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| − | ==Scheitelform== | + | ==quadratische Funktionen== |
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| − | Die Funktionsgleichung <math>f(x)=a\cdot (x+d)^2+e</math> ist die Scheitelform einer quadratischen Funktion. <br>
| + | [[M9 Scheitelform]] |
| − | Aus dieser Darstellung kann man leicht die Koordinaten des Scheitels S ablesen, es ist S(-d,e).
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| − | <ggb_applet height="700" width="800"
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| − | filename="Scheitelform.ggb" />
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| − | Meistens wird der Funktionsterm einer quadratischen Funktion aber als <math>a x^2 + bx + c</math> angegeben. Wie schon bei der pq-Formel kann man diesen Term mittels quadratischer Ergänzung auf die Scheitelform bringen.<br>
| + | [[M9_Parabelgleichung_ablesen_und_Parabel_zeichnen]] |
| − | 1. Zuerst klammert man a aus den x-Gliedern aus.<br>
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| − | Es ist <math>a x^2 + bx + c = a(x^2+\frac{b}{a}x) + c</math><br>
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| − | 2. Nun ergänzt man den Term in der Klammer <math>x^2+\frac{b}{a}x</math> mit Hilfe der binomischen Formel zu einem Quadrat.
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| − | Es ist <math>x^2+\frac{b}{a}x = x^2+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = (x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2</math><br>
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| − | 3. Dies verwendet man in dem Term aus 1.<br>
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| − | <math>a x^2 + bx + c = a(x^2+\frac{b}{a}x) + c = a[(x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2] + c</math><br>
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| − | 4. Nun formt man den Term noch so um, dass man die Scheitelform erhält.<br>
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| − | Dazu multipliziert man a in die eckige Klammer hinein<br>
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| − | <math>a[(x+\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2] + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 -a(\frac{b}{2a})^2 + c=a(x+\frac{b}{2a})^2 -a\cdot\frac{b^2}{4a^2} + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a} + c </math><br>
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| − | Dies ist die Scheitelform und man kann die Scheitelkoordinaten ablesen: <math>S(-\frac{b}{2a};-\frac{b^2}{4a} + c)</math>.
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| − | <ggb_applet height="700" width="800"
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| − | filename="Scheitelkoordinaten.ggb" />
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| − | Zur Ergänzung [[M9_Parabelgleichung_ablesen_und_Parabel_zeichnen]]
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