M11 Betrag eines Vektors

Merke: Der Betrag $| \vec v |$ des Vektors $\vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ ist $| \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ . Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors $\vec {PQ}$. $|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$

  Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)$?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors $\vec {CD}$ für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right)$ den Betrag 1?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $|\vec v |=\sqrt{21}$
b) $|\vec {AB}|=3\sqrt 6$
c) $|\vec {CD}|=3\sqrt 6$

d) $|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1$, also 0,25 + k² =1 liefert $k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}$

Merke: Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor. Ein Einheitsvektor wird oft mit $\vec e$ bezeichnet. Speziell der Einheitsvektor zum Vektor $\vec v$ wird mit $\vec {v^0}$ bezeichnet. Es ist $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}$

  Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$.
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu $\vec v$ gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu $\vec v$ orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Der Betrag des Vektors $\vec v$ ist $|\vec v|=3$.
a) $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$
b) $\vec e = -\frac{\vec v}{|\vec v|}=-\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$

2. $\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$

Merke: Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K. M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel. Für die Punkte X gilt: $| \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3 \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r$ Die Gleichung $|\vec {\vec x - \vec m}|=r$ ist die Vektorgleichung, $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ die Koordinatengleichung einer Kugel.

  Aufgabe 3

a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an.
b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $|\vec x - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)|=5$ und $(x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=25$
b) $| \vec {MO} |=|\vec o - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{14} < 5$, also liegt O innerhalb der Kugel.
$| \vec {MP} |=|\vec p - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2-2 \\\ 0-3 \\\ 5-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{25} = 5$, also liegt P auf der Kugel.

$| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5$, also liegt Q außerhalb der Kugel.

  Aufgabe 4

Buch S. 105 / 1a,g
Buch S. 105 / 2
Buch S. 105 / 4
Buch S. 105 / 5 a,b

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

105/1a $\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) \right| = 6$
g) 1

105/2a) $\left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -1 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=\sqrt 2$
b) $\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}$
c) $\left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right) \right| = \sqrt {13}$
d) $\left | \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -7 \\\ 8 \end{array}\right) \right| =\sqrt {138}$
e) $| \vec a |=| \vec b| = 3$, also $\frac{1}{3}|\vec a + \vec b|=\frac{\sqrt 2}{3}$
f) $\left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 3 \\\ -4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}$

105/4 a) $(\frac{1}{2})^2 + k^2 + (-\frac{1}{3})^2=1$ liefert $k^2 = \frac{23}{36}$, also $k_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{23}}{6}$
b) k = -1
c) es gibt kein k
d) $k_{1,2}=\pm \sqrt 3$
e) $k_{1,2}=\pm \frac{1}{5}$
f) $k_{1,2}=\pm \frac{1}{3}$

105/5a $\left | \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -3 \end{array}\right) \right| =13$, also $\vec c=\frac{1}{13} \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 12 \\\ -3 \end{array}\right)$

b) $\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) \right| =3$, also $\vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$

  Aufgabe 5

Buch S. 105 / 3
Buch S. 106 / 7
Buch S. 106 / 8
Buch S. 106 / 9

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

105/3 a) den Betrag $\sqrt {14}$ haben die Vektoren $\vec m, \vec q, \vec t$ , den Betrag 2 haben die Vektoren $\vec n, \vec r$, den Betrag $2 \sqrt 2$ haben die Vektoren $\vec p, \vec s$
b) zueinander parallel sind $\vec m, \vec t$ und $\vec n, \vec p, \vec s$
c) Gegenvektoren sind $\vec m$ und $\vec t$, sowie $\vec p$ und $\vec s$.
d) gleich sind keine der Vektoren

106/7a) $|\vec {AB}|=7$
b) $|\vec {AB}|=10$
c) $|\vec {AB}|=17$

106/8 a) $|\vec {AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} -8 \\\ k-1 \\\ -1 \end{array}\right) \right| =\sqrt{64+(k-1)^2+1}=9$ , also $65 + (k-1)^2=81$ --> $(k-1)^2 = 16$ dies liefert zwei Lösungen
$k_1-1=-4 \rightarrow k_1=-3$ und $k_2-1=4 \rightarrow k_2 = 5$
b) k₁=3 und k₂=7

106/9 Die Dreiecksseiten sind $c=|\vec{AB}|, a=|\vec{BC}|, b=|\vec{AC}|$
$c=|\vec{AB}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt 2$
$a=|\vec{BC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 6 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=6$
$b=|\vec{AC}|=\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 6 \\\ -3 \end{array}\right) \right|=3\sqrt {6}$
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: $c^2+a^2=18+36=54=b^2$, also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig.
Der Flächeninhalt ergibt sich zu $A=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt 2 \cdot 6= 9\sqrt 2$

Die Umfangslänge ist $U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)$

  Aufgabe 6

Aufgaben zur Kugel
Buch S. 106 / 10

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

106/10a) $K_1: x_1^2+x_2^2+x_3^2=9$
b) $K_2: (x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-6)^2=16$
c) $K_3: (x_1-4)^2+(x_2+4)^2+(x_3-7)^2=144$
d) $K_4: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=11$
e) $K_5: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=1$
f) $K_6: (x_1-1)^2+(x_2-4)^2+(x_3-8)^2=100$

Merke r1-r2

(1) r₁ + r₂ = 7
$|\vec {K_1K_2}|= \left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 3 \\\ 6 \end{array}\right) \right| = 7$ Aussage wahr
(2) r₁ + r₃ = 15
$|\vec {K_1K_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 7 \end{array}\right) \right| = 9 < 15$ Aussage falsch
(3) r₂ + r₃ = 16
$|\vec {K_2K_3}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ -7 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{86} < 16$ Aussage wahr
(4) r₁ + r₆ = 13
$|\vec {K_1K_6}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 4 \\\ 8 \end{array}\right) \right| = 9 < 13$ Aussage wahr
(5) r₄ + r₅ = 1+\sqrt {11}
Die Kugeln haben dien gleichen Mittelpunkt, aber verschiedene Radien. Aussage wahr
(6) r₁ + r₅ = 4

$|\vec {K_1K_5}|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -6 \\\ -2 \end{array}\right) \right| = 2\sqrt {11} > 4$ Aussage falsch

  Aufgabe 7

Buch S. 106 / 11
Buch S. 106 / 12
Buch S. 106 / 13

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

106/10a) $K_1: x_1^2+x_2^2+x_3^2=9$
b) $K_2: (x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-6)^2=16$
c) $K_3: (x_1-4)^2+(x_2+4)^2+(x_3-7)^2=144$
d) $K_4: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=11$
e) $K_5: x_1^2+(x_2+3)^2+(x_3-4)^2=1$

f) $K_6: (x_1-1)^2+(x_2-4)^2+(x_3-8)^2=100$