M11 Betrag eines Vektors
Merke:
Der Betrag Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors ![]() |
a)
b)
c)
![|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1](/images/math/5/3/1/5310c559af2116c511e7e2bb41b189be.png)
![k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}](/images/math/1/6/7/167b81fb08eb84e91ad9020945fa4a84.png)
Merke:
Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor. |
1. Der Betrag des Vektors ist
.
a)
b)
![\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)](/images/math/d/7/1/d710e86023e0d7a33b81e91590021021.png)
Merke:
Alle Punkte X(x1,x2,x3) im Raum, die von einem Punkt M(m1,m2,m3) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K. Für die Punkte X gilt: Die Gleichung |
a) und
b) , also liegt O innerhalb der Kugel.
, also liegt P auf der Kugel.
![| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5](/images/math/0/3/2/032d2ec38ef694b56941bade0cbd69ef.png)
105/1a
g) 1
105/2a)
b)
c)
d)
e) , also
f)
105/4 a) liefert
, also
b) k = -1
c) es gibt kein k
d)
e)
f)
105/5a , also
![\left | \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right) \right| =3](/images/math/5/f/1/5f1f7b12942a742548efcffb546a4074.png)
![\vec c=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)](/images/math/0/8/0/080f5b3f72e4ad1cb93eab8ad2a10a04.png)
105/3 a) den Betrag haben die Vektoren
, den Betrag 2 haben die Vektoren
, den Betrag
haben die Vektoren
b) zueinander parallel sind und
c) Gegenvektoren sind und
, sowie
und
.
d) gleich sind keine der Vektoren
106/7a)
b)
c)
106/8 a) , also
-->
dies liefert zwei Lösungen
und
b) k1=3 und k2=7
106/9 Die Dreiecksseiten sind
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn der Satz des Pythagoras gilt: , also ist das Dreieck ABC bei B rechtwinklig.
Der Flächeninhalt ergibt sich zu
![U=3\sqrt 2 + 6 + 3\sqrt {6}=6+3(\sqrt 2 + \sqrt 6)](/images/math/4/5/2/45262a0e57d8d420b381f02b749c678b.png)
Aufgaben zur Kugel
106/11 a) Es ist
Koordinatengleichung: ; Vektorgleichung:
b) Es ist
Koordinatengleichung: ; Vektorgleichung:
oder
106/12a) , A liegt innerhalb der Kugel.
, B liegt außerhalb der Kugel.
, C liegt auf der Kugel.
106/13a) ist eine Kugelgleichung mit M(3;0;-2) und r = 2
b) ist eine Kugelgleichung mit M(-3;4;2) und r O 13
c) ist keine Kugelgleichung (wenn man -1 auf die rechte Seite bringt ist auf der linken Seite die Summe von Quadraten, die nie -1 werden kann)
d) ist eine Kugelgleichung mit M(4;0;-2) und r = 8
f) ist eine Kugelgleichung mit M(0;0;0) und r = 2
Nun muss man wirklich rechnen :-(
e) Die Gleichung muss man jetzt in Koordinatenform bringen. Das erfolgt mit quadratischer Ergänzung.
Dazu schreibt man zuerst die Gleichung in dieser Form: und ergänzt "mit 0"
Die Klammern sind mit den binomischen Formeln Quadrate.
oder
Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-1;3;0) und r = 1.
g) Man kann die Gleichung umformen in . Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(8;-4;3) und r = 17.
h) Man kann die Gleichung umformen in . Das ist die Gleichung einer Kugel mit M(-4,0,0) und r=5.
![(x_1-1)^2+(x_2-5)^2+(x_3+1)^2=81](/images/math/0/c/c/0cccf459fb4a67738040c116ef9020aa.png)