Gebrochen-rationale Funktionen 8

Merke: Eine Funktion f ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn ihr Funktionsterm einen Bruch enthält, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Der Wert für x für den der Nenner Null wird heißt Definitionslücke.

Beispiele für Funktionsterme gebrochen-rationaler Funktionen sind $\frac{1}{x}, \frac{1}{x-1}, \frac{x}{x+1}, \frac{2x}{4-x}, \frac{1}{x^2}, \frac{x}{x+x^2}, \frac{2x-1}{x}, \frac{2}{x^2 +1} ...$.

Im Nenner eines Bruches darf nie 0 stehen. Deshalb muss man diese Wert aus der Grundmenge Q (Menge der rationalen Zahlen) herausnehmen. Alle Zahlen, die man in den Term einsetzen darf stehen auch bei gebrochen-rationalen Funktionen in der Definitionsmenge D.

  Aufgabe 1

Gib für obigen Beispielsterme jeweils die Definitionsmenge an.

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Um die Definitionslücke zu finden musst du den Nenner gleich 0 setzen und diese Gleichung lösen. Die erhaltenen Zahlen sind aus der Grundmenge Q zu entfernen.
$\frac{1}{x}$ hat D = Q\{0},
$\frac{1}{x-1}$ hat D = Q \{1},
$\frac{x}{x+1}$ hat D = Q\{-1},
$\frac{2x}{4-x}$ hat D = Q\{4},
$\frac{1}{x^2}$ hat D = Q\{0},
$\frac{x}{x+x^2}$ hat D = Q\{-1;0},
$\frac{2x-1}{x}$ hat D = Q\{0}

$\frac{2}{x^2 +1}$ hat D = Q. Beachte, dass es in der Menge Q der rationalen Zahlen keine Zahl gibt, die quadriert -1 ergibt.

  Aufgabe 2

1. Gib für jeden Term den x-Wert / die x-Werte an für die der Term nicht definiert ist:
$a) 2 + \frac{1}{7x} \qquad b) \frac{4}{-5x+5} \qquad c) \frac{x+1}{x+2} \qquad d) \frac{2-x}{1+x} \qquad e) \frac{x^2}{8-x^3} \qquad f) \frac{5}{2(x^2-9)}$
$g) \frac{5x}{25-x^2} \qquad h) \frac{17}{0,8x-2} \qquad i) \frac{5}{7(x-2)^2} \qquad j) \frac{2+x}{10x+5} \qquad k) \frac{2x}{x^2+x}$
2. Begründe, warum die größtmögliche Definitionsmenge jeweils Q ist.
$a) 4-x \qquad b) \frac{10}{4+x^2} \qquad c) \frac{x+1}{3(x+1)-3x} \qquad d) \frac{2020}{1+x^4}$

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1. Der Bruchterm ist für
a) x = 0
b) x = 1
c) x = -2
d) x = -1
e) x = 2
f) x = -3 und x = 3
g) x = -5 und x = 5
h) x = 2,5
i) x = 2
j) x = -0,5
k) x = -1 und x = 0
nicht definiert.

2. a) Im Funktionsterm kommt kein Bruch vor.
b) 4+x² ist stets größer oder gleich 4, also nie 0.
c) Der Nenner lässt sich umformen; 3(x+1) - 3x = 3, also kann nie 0 werden.

d) 1 + x⁴ hat stets Werte die größer oder gleich 1 sind, kann also nie 0 sein.

  Aufgabe 3

1. Gib jeweils zwei möglichst einfache Terme von gebrochen-rationalen Funktionen an, deren größtmögliche Definitionsmenge
$a) Q\setminus \left \{ 0,1 \right \} \qquad b) Q\setminus \left \{ 0;1 \right \} \qquad c) Q \qquad d) Q\setminus \left \{ -1;0;1 \right \}$
2. Entscheide jeweils rechnerisch - ohne den Graphen der Funktion f zu zeichnen, ob die angegebenen Punkte auf dem Graphen von f liegen.
$a) f(x) = \frac{1}{x-2} mit D = Q\setminus \left \{ 2 \right \} und \ die Punkte A(3; 1), B(0; 2,5), C(4; 3,5)$
$b) f(x) = \frac{12}{x^4+1}mit D = Q \ und \ die Punkte A(0;8), B(1;4), C(-1;.4)$
$c) f(x) = \frac{6+x}{6-x} mit D = Q\setminus \left \{ 6 \right \} und \ die Punkte A(1;1), B(3;-3), C(-6;0)$

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1. Die Definitionslücke ist gegeben. Der Term soll eine gebrochen-rationale Funktion darstellen, d.h. es ist ein Bruchterm mit x im Nenner. Die Definitionslücke ist Nullstelle des Nenners.
a) Die Definitionslücke ist bei x = 0,1. $f(x) = \frac{1}{10x-1}$
b) Definitionslücken bei x = 0 und x = 1. $f(x) = \frac{1}{x^2-x}$

Beachte x2 - x = x(x-1) und ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist! 

c) keine Definitionslücke. $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$
d) Definitionslücken bei x = -1, x = 0 und x = 1. $f(x) = \frac{1}{x^3-x^2}$

Beachte x3 - x2 = x(x2-1)=x(x-1)(x+1) und ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist!

2. Man setzt die x-Werte in den Funktionsterm ein. Ergibt sich der angegebene y-Wert, dann liegt der Punkt auf dem Funktionsgraph, ergibt sich ein anderer Wert als angegeben, dann liegt der Punkt nicht auf dem Funktionsgraph. Ist der angegebene Wert größer als der berechnete Wert, dann liegt der Punkt über dem Graphen, ist der angegebene Wert kleiner, dann liegt der Punkt unter dem Graphen.
a) f(3) = 1, also liegt A auf dem Graph, f(0) = 1 < 2,5, also liegt B über dem Graphen, f(4) = 0,5 < 3,5, also liegt C über dem Graphen.
b) f(0) = 12 > 8, also liegt A unter dem Graphen, f(1) = 2,4 < 4, also liegt B über dem Graphen, f(-1) = 6 > -4, also liegt C unter dem Graphen.

c) f(1) = 1,4 > 1, also liegt A unter dem Graphen, f(3) = 3 > -3, also liegt B unter dem Graphen, f(-6) = 0, also liegt C auf dem Graphen.

Die Funktion der indirekten Proportionalität $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ für $x \not= 0$ ist die einfachste gebrochen-rationale Funktion.
Ihr Graph ist eine Hyperbel und besteht aus zwei Hyperbelästen.

An der Stelle x = 0 ist die Funktion nicht definiert. Ihr Graph nähert sich der y-Achse (x = 0) beliebig nahe an. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote. Betrachtet man die Funktion für sehr große x, d.h. $x \rightarrow \infty$ oder sehr kleine x, d.h. $x \rightarrow -\infty$ dann nähert sich der Graph beliebig nahe an die x-Achsse an. Die x-Achse ist eine waagrechte Asymptote.

Merke Eine Gerade heißt Asymptote zum Funktionsgraf Gf, wenn sich der Funktionsgraph beliebig nahe an die Gerade annähert ohne sie zu berühren.

  Aufgabe 4

a) Gib für die Funktion $f: x \rightarrow \frac{2}{x}$ die Definitionsmenge an und zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle den Graphen.
b) Gib jeweils die Gleichung der waagrechten und senkrechten Asymptote an und trage sie farbig in dein Diagramm ein.
c) Für welche positiven Werte von x ist der Funktionswert f(x) kleiner als 0,5?
d) Die Punkte P(-4,y_P) und P^*(4;y_P^*) liegen auf dem Graph von f. Bestimme die y-Werte und zeige, dass P und P^* auf einer Geraden durch den Ursprung O liegen. Gib die Geradengleichung an.

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Im Nenner steht der Term x. Dieser nimmt für x=0 den Wert 0 an, also darf man 0 nicht in den Term $\frac{2}{x}$ einsetzen. x=0 ist Definitionslücke und D = Q\{0}.
Wertetabelle:

Für x = 0 ist der Term nicht definiert, also taucht 0 auch nicht in der Wertetabelle auf. Falls du 0 in der Wertetabelle hast, dann schreibe beim zugehörigen y-Wert n.d. für nicht definiert. Graph:

b) y = 0 (x-Achse) ist waagrechte Asymptote, x = 0 (y-Achse) ist senkrechte Asymptote. Der Graph nähert sich den Koordinatenachsen beliebig nahe an ohne sie zu erreichen.

c) In der Wertetabelle siehst du f(4) = 0,5. Wird x größer, dann werden die y-Werte kleiner. Das siehst du auch an der Wertetabelle aber auch am Graphen. Also für x > 4 sind die Funktionswerte f(x) kleiner 0,5.

d) y_P = -0,5 und y_P^* = 0,5. Die Gerade durch P und P^* hat die Gleichung $y = \frac{1}{8} \cdot x$, ist eine Ursprungsgerade und geht also durch den Ursprung.

Im folgenden Graph ist für b = 0 die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ dargestellt. Diese Funktion ist dir aus der letzten Aufgabe bekannt. Ihre senkrechte Asymptote (x=0) ist rot eingezeichnet.
Eigentlich siehst du den Graph der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}, x\neq b$ . Für b ist nur der Wert 0 eingestellt. Mit dem Schieberegler (b = 0) kannst du den Wert von b verändern.

  Aufgabe 5

Verändere im obigen Applet den Wert von b indem du den Schieberegler betätigst.
a) Wo hat die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}$ eine Definitionslücke? Gib die Definitionsmenge an. b) Was passierte mit dem gezeichneten Graphen für b = 0 als du den Schieberegler bewegt hast?
c) Welchen besonderen Namen hat auch dieser Graph?
d) Lies aus dem Applet die Geradengleichung der senkrechten roten Geraden ab.
e) Was passiert mit der eingezeichneten senkrechten Asymptote.
f) Gib die waagrechte Asymptote an.
g) Fasse deine Überlegungen zusammen.

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a) Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}$ hat bei x = b eine Definitionslücke. D = Q\{b}. b nimmt stets den durch den Schieberegler eingestellten Wert an.
b) Der Graph wird für positive b nach rechts (in positive x-Richtung) verschoben. Für negative b wird er nach links (in negative x-Richtung) verschoben.
c) Es handelt sich auch hier um eine Hyperbel.
d) x = b, wobei b der gerade am Schieberegler eingestellte Wert ist.
e) Die senkrechte Asymptote wird wie der Graph verschoben, also für b > 0 nach rechts und für b < 0 nach links. f) Die waagrechte Asymptote ist die x-Achse y = 0. Sie ändert sich bei Betätigung des Schiebereglers nicht.

g) Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}, x\neq b$ ist nicht definiert für x = b, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{b}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ um b in Richtung der x-Achse verschiebt. Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = a und eine waagrechte Asymptote y = 0 (unabhängig von a).

Ausgangspunkt im folgenden Applet ist wieder wie gerade eben der Graph der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$. Desweiteren ist die waagrechte Asymptote y = 0 lila eingezeichnet. Diesmal ist ein Schieberegler für c gegeben. Wir wollen als nächstes Funktionen betrachten, bei denen zum Funktionsterm $\frac{2}{x}$ der Wert von c addiert wird. Wir haben dann also eine Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0$ . Eingestellt ist der Wert c = 0. Bewegst du den Schieberegler, ändert sich der Wert von c.

  Aufgabe 6

Veränderte in obigen Applet den Wert von c indem du den Schieberegler betätigst.
a) Wo hat die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c$ eine Definitionslücke? Gib die Definitionsmenge an.
b) Was passierte mit dem gezeichneten Graphen für c = 0 als du den Schieberegler bewegt hast?
c) Welchen besonderen Namen hat auch dieser Graph?
d) Lies aus dem Applet die Geradengleichung der waagrechten lila Geraden ab.
e) Was passiert mit der eingezeichneten waagrechten Asymptote.
f) Gib die senkrechte Asymptote an.
g) Fasse deine Überlegungen zusammen.

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a) a) Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0$ hat bei x = 0 eine Definitionslücke. D = Q\{0}. Sie ändert sich bei Variation von c nicht.
b) Der Graph wird für positive c nach oben (in positive y-Richtung) verschoben. Für negative c wird er nach unten (in negative y-Richtung verschoben.
c) Es handelt sich auch hier um eine Hyperbel.
d) y = c, wobei c der gerade am Schieberegler eingestellte Wert ist.
e) Die waagrechte Asymptote wird wie der Graph verschoben, also für c > 0 nach oben und für c < 0 nach unten. f) Die senkrechte Asymptote ist die y-Achse x = 0. Sie ändert sich bei Betätigung des Schiebereglers nicht.

g) Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0$ ist nicht definiert für x = 0, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{0}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ um c in Richtung der y-Achse verschiebt.Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = 0 (unabhängig von c) und eine waagrechte Asymptote y = c.

Merke: 1. Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b}, x\neq b$ ist nicht definiert für x = b, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{b}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ um b in Richtung der x-Achse verschiebt. Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = a (an der Stelle der Definitionslücke) und eine waagrechte Asymptote y = 0 (unabhängig von a). 2. Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x} + c, x\neq 0$ ist nicht definiert für x = 0, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{0}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ um c in Richtung der y-Achse verschiebt.Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = 0 (unabhängig von c und an der Stelle der Definitionslücke) und eine waagrechte Asymptote y = c. Fasst man beide Aussagen zusammen, dann erhält man: 3, Die Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x-b} + c, x\neq b$ ist nicht definiert für x = b, dort hat sie eine Defintionslücke, ihre Definitionsmenge ist D = Q\{b}. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Man erhält diese Hyperbel, indem man die Hyperbel der Funktion $f: x\rightarrow \frac{2}{x}, x\neq 0$ um b in Richtung der x-Achse und um c in Richtung der y-Achse verschiebt.Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, eine senkrechte Asymptote x = b (an der Stelle der Definitionslücke)und eine waagrechte Asymptote y = c.

Die Veränderung von b und c kannst du im folgenden Applet ausprobieren.
Zuerst ist die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x}$ dargestellt. Es gibt zwei Schieberegler. Damit kannst du den Wert der Parameter $b$ und $c$ verändern. $b$ ist ein Parameter, der im Nenner der Funktion als $x-b$ hinzugefügt wird, $c$ wird beim Funktionsterm addiert, so dass du die Funktion $f: x\rightarrow \frac{1}{x-b}+c$ betrachten kannst.

  Aufgabe 7

1. Ändere den Wert von b, indem du am Schieberegler für b ziehst.
Die Gerade x = b ist eingezeichnet.
Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen?
Welche Bezeichnung hat diese Gerade noch?
2. Ändere den Wert von c, indem du am Schieberegler für c ziehst.
Die Gerade y = c ist eingezeichnet.
Was kannst du über die Lage dieser Geraden aussagen? Wie heißt diese Gerade noch?

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1. Die Gerade x = b ist an der Stelle der Defintionslücke x = b. Bei Veränderung von b, ändert sich die Definitionslücke, die Gerade wandert mit.
Die Gerade x = b ist eine senkrechte Asymptote.
2. Die x-Achse wird um c in y-Richtung verschoben. Die Gerade y = c ist, da sich die Hyperbeläste für große x an sie annähern, Asymptote für $x \rightarrow \pm\infty$.

Die Gerade y = c ist waagrechte Asymptote.

Bemerkung
Waagrechte Asymptoten sind Geraden, an die sich der Graph für $x \rightarrow -\infty$ oder $x \rightarrow \infty$, also wenn x sehr klein oder x sehr groß wird, annähert. "Im Endlichen" kann der Graph weit weg von der Asymptoten sein oder er kann die waagrechte Asymptote sogar schneiden.

Die x-Achse ist waagrechte Asymptote, an sie nähert sich der Graph für $x \rightarrow -\infty$ und für $x \rightarrow \infty$ beliebig nahe an. Bei x = -1 und x = 2 sind Definitionslücken. Die y-Werte sind in der Nähe dieser Definitionslücken sehr weit von der x-Achse entfernt.
Bei x = 1 schneidet der Graph die waagrechte Asymptote y = 0.

  Aufgabe 8

Du hast jetzt viel über gebrochen-rationale Funktionen, Definitionslücken, Hyperbeln kennengelernt.
Bearbeite mit deinen Kenntnissen diesen zu Hyperbeln

  Aufgabe 9

1. Zeichne zuerst den Funktionsgraph G_f , spiegele dann G_f wie angegeben und bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.
$a) f(x) = \frac{1}{x} mit D = Q\setminus \left \{ 0 \right \} und: Spiegle \ G_f \ am \ Ursprung.$
$b) f(x) = \frac{1}{x} mit D = Q\setminus \left \{ 0 \right \} und: Spiegle \ G_f \ an \ der \ y-Achse.$
$a) f(x) = \frac{10x}{1+x^2} mit D = Q \ und: Spiegle \ G_f \ an \ der \ x-Achse.$

2. Zeichne die Graphen der Funktionen $f_1 \ mit f_1(x) = \frac{1}{1+x^2}, f_2 \ mit f_2(x)=\frac{8}{4+x^2} \ und f_3 \ mit f_3(x)=\frac{27}{9+x^2}$ für $-3\le x \le 3$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Die Punkte auf den Graphen mit den x-Koordinaten x = - 0,5 und x = 0,5 bilden mit dem Urspung O(0;0) jeweils ein gleichschenkliges Dreieck.
Berechne den Flächeninahlt jedes dieser drei Dreiecke.

3. Fritz hat einen Teich und misst die Temperatur an der Oberfläche und in verschiedenen Tiefen.

Untersuche, ob sich die Temperatur y durch den Ansatz $y = \frac{36}{x+2} \ mit \ x \in Q^+$ beschreiben lässt.
Zeichne den Graphen für $0 \le x \le 7$.

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1. a) Eine Punktspiegelung am Ursprung gibt x- und y-Werten jeweils das andere Vorzeichen, also $-f(-x)=-\frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$. Dies ist derselbe Funktionsterm wie bei f. Wenn man den Graph von f gezeichnet hat, sieht man, dass er punktsymmetrisch zum Ursprung ist!
b) Spiegelt man an der y-Achse, dann bekommen die x-Werte das andere Vorzeichen, also $f(-x)=\frac{1}{-x}= -\frac{1}{x}$ .
c)Spiegelt man an der x-Achse, dann bekommen die y-Werte das andere Vorzeichen, also $-f(x)=-\frac{10x}{1+x^2}$ .
Der Graph ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung.

2.

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel $G = \frac{1}{2}g\cdot h$. Es ist f₁(±0,5) = 0,8; f₂(±0,5) ≈ 1,88; f₃(±0,5) ≈ 2,92.
Die Funktionswerte geben die Höhe des Dreiecks an, die Grundlinie hat Länge 1 (Abstand der Punkte auf den Graphen), also ergibt sich
A₁ = 0,4; A₂ ≈ 0,92; A₁ ≈ 1,46.

Nur kurz als Bemerkung: Die Graphen schauen richtig schön aus, wenn man sie für eine größere Definitionsmenge zeichnet.

3. Man zeichnet den Graph der gegebenen Funktion $f:x\rightarrow y$ mit $y = \frac{36}{x+2}$ und trägt die gegebenen Punkte mit den Koordinaten aus der Wertetabelle ein. Dann prüft man, ob die Punkte auf dem Graph liegen.

Man kann damit sagen, dass die Temperatur durch den Ansatz $y = \frac{36}{x+2}$ beschrieben werden kann.

Übrigens kommen die y-Werte der Tabelle heraus, wenn man die x-Werte in den Funktionsterm einsetzt.

  Aufgabe 10

Bearbeite die folgenden zwei Seiten:
M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen
M8 - Tests zu gebrochen-rationalen Funktionen

Auf der folgenden Seite wird mit GeoGebra-Applets nochmals verdeutlich wie man
- aus dem Term den Graph und
- aus dem Graph den Term
einer gebrochen-rationalen Funktion findet: M8 Term und Graph bei gebrochen-rationalen Funktionen

  Aufgabe 11

Drucke dir dieses Arbeitsblatt aus und bearbeite es.

Zum Schluss noch ein Video;