Umkehrfunktion Monotonie

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30px   Merke Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".

Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".

30px   Aufgabe Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! Betrachte stets den Funktionsgraph im Intervall [1;4].

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

(!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

30px   Merke Ist eine Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.

30px   Aufgabe Wo ist die Quadratfunktion $f: x\rightarrow x^2$ mit $D = R$ umkehrbar? Gib jeweils die Umkehrfunktion an.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Die Quadratfunktion ist im Intervall $]-\infty;0]$ streng monoton abnehmend und im Intervall $[0;\infty[$ streng monoton zunehmend.

Somit ist der linke Ast $x \in ]-\infty;0]$ umkehrbar
und der rechte Ast $x \in [0;\infty[$ ist ebenso umkehrbar.

a) Für den linken Ast ist $D = R^-_0$ und $W = R^+_0$.
Umkehrfunktion $f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ und $W^{-1} = R^-_0$.

b) Für den rechten Ast ist $D = R^+_0$ und $W = R^+_0$
Umkehrfunktion $f^{-1}:x \rightarrow sqrt x$ mit $D^{-1} = R^+_0$ und $W^{-1} = R^+_0$.