M11 Betrag eines Vektors: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. Januar 2021, 10:11 Uhr

Merke:

Der Betrag $| \vec v |$ des Vektors $\vec v= \left ( \begin{array}{c} v_1 \\\ v_2 \\\ v_3 \end{array}\right)$ ist $| \vec v | =\sqrt {v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ .

Die Entfernung zweier Punkte P und Q ist der Betrag des Vektors $\vec {PQ}$ .

$|\vec {PQ}|=|\vec q - \vec p|= \left | \left ( \begin{array}{c} q_1-p_1 \\\ q_2-p_2 \\\ q_3-p_3 \end{array}\right) \right| =\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$

Aufgabe 1

a) Welchen Betrag hat der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4\\\ 1 \end{array}\right)$ ?
b) Welche Entfernung haben die Punkte A(2;4,1) und B(-5;3;-1)?
c) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors $\vec {CD}$ für C(-5;3,-1) und D(2;4;1).
d) Für welchen Wert von k hat den Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} -0,3 \\\ k \\\ 0,4 \end{array}\right)$ den Betrag 1?

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a) $|\vec v |=\sqrt{21}$
b) $|\vec {AB}|=3\sqrt 6$
c) $|\vec {CD}|=3\sqrt 6$

d) $|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1$ , also 0,25 + k² =1 liefert $k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}$

Merke:

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.
Ein Einheitsvektor wird oft mit $\vec e$ bezeichnet.
Speziell der Einheitsvektor zum Vektor $\vec v$ wird mit $\vec {v^0}$ bezeichnet. Es ist $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}$

Aufgabe 2

1. Gegeben ist der Vektor $\vec v= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$ .
Ermitteln Sie einen Einheitsvektor, der
a) parallel und zu $\vec v$ gleich orientiert ist.
b) parallel und entgegengesetzt zu $\vec v$ orientiert ist.

2. Geben Sie die Einheitsvektoren zu unserem dreidimensionalen Koordinatensystem an.

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1. Der Betrag des Vektors $\vec v$ ist $|\vec v|=3$ .
a) $\vec {v^0} = \frac{\vec v}{|\vec v|}=\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$
b) $\vec e = -\frac{\vec v}{|\vec v|}=-\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2 \end{array}\right)$

2. $\vec e_1 =\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_2=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \end{array}\right), \vec e_3 = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)$

Merke:

Alle Punkte X(x₁,x₂,x₃) im Raum, die von einem Punkt M(m₁,m₂,m₃) die gleiche Entfernung r haben bilden die Oberfläche einer Kugel K.
M ist der Mittelpunkt der Kugel, r der Radius der Kugel.

Für die Punkte X gilt: $| \vec {MX} |=|\vec x - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} x_1-m_1 \\\ x_2-m_2 \\\ x_3-mp_3 \end{array}\right) \right| = \sqrt{(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2} = r$

Die Gleichung $|\vec {\vec x - \vec m}|=r$ ist die Vektorgleichung, $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ die Koordinatengleichung einer Kugel.

Aufgabe 3

a) Geben Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(2:3:1) und Radius r = 5 an.
b) Welche Lage haben die Punkte O(0;0;0), P(2;0;5), Q(5;6;4) in Bezug auf die Kugel K?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $|\vec x - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right)|=5$ und $(x_1-2)^2+(x_2-3)^2+(x_3-1)^2=25$
b) $| \vec {MO} |=|\vec o - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{14} < 5$ , also liegt O innerhalb der Kugel.
$| \vec {MP} |=|\vec p - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2-2 \\\ 0-3 \\\ 5-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{25} = 5$ , also liegt P auf der Kugel.

$| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1 \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5$ , also liegt Q außerhalb der Kugel.

Aufgabe 4

Buch S. 105 / 1a,g
Buch S. 105 / 2
Buch S. 105 / 4

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105/1a $\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -4 \end{array}\right) \right| = 6$
g) 1

105/2a) $\left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -1 \\\ 0 \end{array}\right) \right|=\sqrt 2$
b) $\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -3 \\\ 4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}$
c) $\left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -2 \end{array}\right) \right| = \sqrt {13}$
d) $\left | \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -7 \\\ 8 \end{array}\right) \right| =\sqrt {138}$
e) $| \vec a |=| \vec b| = 3$ , also $\frac{1}{3}|\vec a + \vec b|=\frac{\sqrt 2}{3}$
f) $\left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 3 \\\ -4 \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}$

105/4 a) $(\frac{1}{2})^2 + k^2 + (-\frac{1}{3})^2=1$ liefert $k^2 = \frac{23}{36}$ , also $k_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{23}}{6}$
b) k = -1
c) es gibt kein k
d) $k_{1,2}=\pm \sqrt 3$
e) $k_{1,2}=\pm \frac{1}{5}$

f) $k_{1,2}=\pm \frac{1}{3}$

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 b) <math>|\vec {AB}|=3\sqrt 6</math> <br>
 c) <math>|\vec {CD}|=3\sqrt 6</math> <br>
-d) <math>|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1</math>, also 0,25 + k² =1  liefert<math>k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}</math>.  }}
+d) <math>|\vec v |=\sqrt{0,25 +k^2}=1</math>, also 0,25 + k² =1  liefert <math>k_1=-\frac{\sqrt 3}{2}, k_2=\frac{\sqrt 3}{2}</math>  }}
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 <math>| \vec {MP} |=|\vec p - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 2-2 \\\ 0-3 \\\ 5-1  \end{array}\right) \right| = \sqrt{25} = 5</math>, also liegt P auf der Kugel.<br>
   <math>| \vec {MQ} |=|\vec q - \vec m|= \left | \left ( \begin{array}{c} 5-2 \\\ 6-3 \\\ 4-1  \end{array}\right) \right| = \sqrt{27} >5</math>, also liegt Q außerhalb der Kugel. }}
+{{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 105 / 1a,g<br>
+Buch S. 105 / 2<br>
+Buch S. 105 / 4 }}
+{{Lösung versteckt|1=105/1a <math>\left | \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 4 \\\ -4  \end{array}\right) \right| = 6</math><br>
+g) 1
+/2a) <math>\left | \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ -1 \\\ 0  \end{array}\right) \right|=\sqrt 2</math><br>
+b) <math>\left | \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ -3 \\\ 4  \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}</math><br>
+c) <math>\left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 0 \\\ -2  \end{array}\right) \right| = \sqrt {13}</math><br>
+d) <math>\left | \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ -7 \\\ 8  \end{array}\right) \right| =\sqrt {138}</math><br>
+e) <math>| \vec a |=| \vec b| = 3</math>, also <math>\frac{1}{3}|\vec a + \vec b|=\frac{\sqrt 2}{3}</math><br>
+f) <math>\left | \left ( \begin{array}{c} -3 \\\ 3 \\\ -4  \end{array}\right) \right| =\sqrt {34}</math>
+/4 a) <math>(\frac{1}{2})^2 + k^2 + (-\frac{1}{3})^2=1</math> liefert <math>k^2 = \frac{23}{36}</math>, also <math>k_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{23}}{6}</math><br>
+b) k = -1<br>
+c) es gibt kein k<br>
+d) <math>k_{1,2}=\pm \sqrt 3</math><br>
+e) <math>k_{1,2}=\pm \frac{1}{5}</math><br>
+f) <math>k_{1,2}=\pm \frac{1}{3}</math>
+}}

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