Rationale Funktionen Indirekte Proportionalitaet: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?
 
Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?
  

Version vom 29. Juli 2013, 15:55 Uhr

Einführung und Definition - Indirekte Proportionalität- Definitionsmenge - Nullstellen - hebbare Definitionslücken - Einfluss der Parameter - Polstellen - senkrechte Asymptoten - Asymptoten für x gegen unendlich


Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?

x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

a) Vervollständige die Tabelle: http://wikis.zum.de/rsg/images/6/67/Tab-24-x.jpg

b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.

c) Betrachte die Produkte x\cdot y. Was stellst du fest?


a) http://wikis.zum.de/rsg/images/3/31/Tab-24-x-lsg.jpg

b)
http://wikis.zum.de/rsg/images/b/bc/24-x.jpg

c) Es ist immer x\cdot y = 24.
Nuvola apps kig.png   Merke


Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt indirekt proportional, wenn das Produkt x\cdot y für alle Paare (x,y) stets konstant ist, also x\cdot y = m.


In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.

Man kann die Funktion f: x \rightarrow \frac{24}{x} allgemein für alle reellen Zahlen x \not = 0 erklären.
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus:

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt Hyperbel.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Funktion f:x \rightarrow \frac{m}{x} mit einer reellen Zahl m \not = 0 heißt indirekte Proportionalität oder indirekt proportionale Funktion.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x}.

Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?

Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge R\{0}.

Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt Polstelle.

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch R\{0}.

Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

a) Stelle in diesem Applet


den Schieberegler für m so ein, dass der Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x} angezeigt wird.

b) Beschreibe wie du den Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{24}{x} aus dem Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{x} erhältst?

c) Beantworte die Fragen auf dieser Seite (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).

a) m = 24

b) Jeder y-Wert der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{x} wird mit 24 multiplilziert. Der Graph von f:x \rightarrow \frac{1}{x} wird in y-Richtung um den Faktor 24 gestreckt.

Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion f auch andere Terme mit x vor, z.B. http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg dann spricht man von rationalen Funktionen.

Internetlinks:

Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in diesem Lernpfad.

Alles über Hyperbeln

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