Umkehrfunktion Definitions- und Wertemenge: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir gehen davon aus, dass als Werte nur nicht negative Zahlen in Betracht kommen. Dies schränkt die Definitionsmenge der Funktions <math> f : x \rightarrow x^2</math> ein. Es ist dann <math>D = R^+_0</math>.
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Mit dieser Einschränkung der Definitionsmenge ist die umgekehrte Zuordnung wieder eindeutig und damit eine Funktion.
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Alle Potenzfunktionen sind für <math>x \in R</math> definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für <math>x \in R^-</math> umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht.
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Hat man die Definitionsmenge <math>D</math> der Funktion <math>f</math> so eingeschränkt, dass die Umkehrung eine Funktion ist, dann gilt für die Definitionsmenge <math>D^{-1}</math> und Wertemenge <math>W^{-1}</math> der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>:
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<center><math>D^{-1}</math> = <math>W</math> und <math>W^{-1}</math> = <math>D</math>.</center>
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{| border="1" cellspacing="0"  valign="top"
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| width="5%" |
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| width="5%" | Funktion <math>f</math>
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| width="5%" | Funktion <math>f^{-1}</math>
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|-valign="top"
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| Definitionsmenge
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| <math>D</math>
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| <math>W</math>
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|-valign="top"
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| Wertemenge
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| <math>W</math>
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| <math>D</math>
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|}
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</center>
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Dabei sind <math>D</math> und <math>W</math> die Definitions- und Wertemenge der eingeschränkten Funktion <math>f</math>.
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{{Aufgaben-blau||1=Gib für die Funktion <br>
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a) <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}+1</math><br>
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b) <math> f: x \rightarrow 2 - x^2</math> <br>
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die Definitions- und Wertemenge an und bestimme die Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertemenge.
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}}
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{{Lösung versteckt|Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> ist in der Lösung mit <math> g </math> bezeichnet.
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a) Für die Funktion <math>f</math> ist <math> D = R \setminus \{ 0\}</math> und <math>W = R \setminus \{ 1\}</math>.
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[[Bild:Funktion_umkf_bspl_3.jpg]]
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<math> y = \frac{1}{x}+1 \Longrightarrow x = \frac{1}{y}+1 \Longrightarrow y = \frac{1}{x-1}</math>, also <math>f^{-1}: x \rightarrow \frac{1}{x-1}</math>.
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Die Umkehrfunktion <math>g</math> hat <math>D^{-1} = R \setminus \{ 1\}</math> und <math>W^{-1} = R \setminus \{ 0\}</math>.
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b) Die Funktion <math>f</math> muss man einschränken. Man nimmt den rechten Ast <math>x \in [0; \infty[</math>.
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Für die Funktion <math>f</math> ist <math> D = [0; \infty[</math> und <math>W = ]-\infty;2]</math>.
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[[Bild:Funktion_umkf_bspl_6.jpg]]
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<math> y = 2 - x^2 \Longrightarrow x = 2 - y^2 \Longrightarrow y = \sqrt{2-x}</math>, also also <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt{2-x})</math>.
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Die Umkehrfunktion <math>g</math> hat <math>D^{-1} = ]-\infty;2]</math> und <math>W^{-1} = [0; \infty[</math>.
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}}
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Ein einfaches Kriterium,wie man feststellt, dass eine Funktion <math> f</math> umkehrbar ist, ist das [[Umkehrfunktion_Monotinie|Monotoniekriterium]] .
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Aktuelle Version vom 23. April 2021, 09:53 Uhr

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Im letzten Beispiel war nicht eindeutig, wie man die umgekehrte Zuordnung machen soll.

Funktion umkf bspl 5a.jpg

Man entscheidet sich für einen Weg, entweder nach links oder nach rechts. Wir gehen nach rechts und ignorieren den linken Teil der Parabel.

Funktion umkf bspl 5b.jpg

Wir gehen davon aus, dass als Werte nur nicht negative Zahlen in Betracht kommen. Dies schränkt die Definitionsmenge der Funktions f : x \rightarrow x^2 ein. Es ist dann D = R^+_0.

Funktion umkf bspl 5c.jpg

Mit dieser Einschränkung der Definitionsmenge ist die umgekehrte Zuordnung wieder eindeutig und damit eine Funktion.

Alle Potenzfunktionen sind für x \in R definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für x \in R^- umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht.

Hat man die Definitionsmenge D der Funktion f so eingeschränkt, dass die Umkehrung eine Funktion ist, dann gilt für die Definitionsmenge D^{-1} und Wertemenge W^{-1} der Umkehrfunktion f^{-1}:

D^{-1} = W und W^{-1} = D.


Funktion f Funktion f^{-1}
Definitionsmenge D W
Wertemenge W D

Dabei sind D und W die Definitions- und Wertemenge der eingeschränkten Funktion f.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe Gib für die Funktion

a) f: x \rightarrow \frac{1}{x}+1
b) f: x \rightarrow 2 - x^2
die Definitions- und Wertemenge an und bestimme die Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertemenge.

{{{2}}}

Die Umkehrfunktion f^{-1} ist in der Lösung mit g bezeichnet.

a) Für die Funktion f ist D = R \setminus \{ 0\} und W = R \setminus \{ 1\}.

Funktion umkf bspl 3.jpg

y = \frac{1}{x}+1 \Longrightarrow x = \frac{1}{y}+1 \Longrightarrow y = \frac{1}{x-1}, also f^{-1}: x \rightarrow \frac{1}{x-1}.

Die Umkehrfunktion g hat D^{-1} = R \setminus \{ 1\} und W^{-1} = R \setminus \{ 0\}.

b) Die Funktion f muss man einschränken. Man nimmt den rechten Ast x \in [0; \infty[.

Für die Funktion f ist D = [0; \infty[ und W = ]-\infty;2].

Funktion umkf bspl 6.jpg

y = 2 - x^2 \Longrightarrow x = 2 - y^2 \Longrightarrow y = \sqrt{2-x}, also also f^{-1}: x \rightarrow \sqrt{2-x}).

Die Umkehrfunktion g hat D^{-1} = ]-\infty;2] und W^{-1} = [0; \infty[.


Ein einfaches Kriterium,wie man feststellt, dass eine Funktion f umkehrbar ist, ist das Monotoniekriterium .



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