Umkehrfunktion Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

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Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".
  
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Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".
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{{Aufgaben-blau|1|2=Teste dein Wissen über die Definition der Monotonie auf dieser [[Monotonie_Test|Seite]].
 
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Ist eine Funktion <math> f </math> im Intervall <math>[a;b]</math> streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.
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{{Aufgaben-blau|2|2=Betrachte nun die Quadratfunktion <math> f: x\rightarrow x^2</math> mit <math>D = R</math>.
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1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?
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2. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?
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3. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.
  
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{{Lösung versteckt|
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Ist eine Funktion <math> f </math> im Intervall <math>[a;b]</math> streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.  
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1. Die Quadratfunktion ist im Intervall <math>]-\infty;0]</math> streng monoton abnehmend und im Intervall <math> [0;\infty[</math> streng monoton zunehmend.
  
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Gib jeweils die Umkehrfunktion an.}}
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2. Der linke Ast ist für <math>x \in ]-\infty;0]</math> umkehrbar <br>.
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Der rechte Ast ist für <math>x \in [0;\infty[</math> auch umkehrbar.
  
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{{Aufgabe|Wo ist die Quadratfunktion <math> f: x\rightarrow x^2</math> mit <math>D = R</math> umkehrbar?}}
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3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^-_0 </math> und <math> W = R^+_0</math>. <br>
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Die Umkehrfunktion ist <math>f^{-1}:x \rightarrow -\sqrt x </math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^-_0</math>.
  
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{{Lösung versteckt|Die Quadratfunktion ist im Intervall <math>]-\infty;0]</math> streng monoton abnehmend und im Intervall <math> [0;\infty[</math> streng monoton zunehmend.
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[[Bild:Umkfkt_quafkt_-.jpg]]
  
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Somit ist der linke Ast <math>x \in ]-\infty;0]</math> umkehrbar <br>
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3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^+_0 </math> und <math> W = R^+_0</math><br>
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und der rechte Ast <math>x \in [0;\infty[</math> ist ebenso umkehrbar.
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Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow \sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
  
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Für den linken Ast ist <math>D = R^-_0 <math> und <math> W = R^+_0</math>. <br>
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[[Bild:Umkfkt_quafkt_+.jpg]]
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Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^-_0</math>.
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Für den rechten Ast ist <math>D = R^+_0 <math> und <math> W = R^+_0</math><br>
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{{Aufgaben-blau|3|2=Betrachte nun die Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^3</math>.
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Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
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1. Gib Definitions- und Wertemenge an.
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2. Zeichne den Graphen der Funktion <math>f</math>.
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3. Wo ist die Funktion streng monoton?
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4. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.  
 
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{{Lösung versteckt|
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1. <math> D = R</math>, <math>W = R</math>
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2. [[Bild:Umkfkt_kubikfkt.jpg]]
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3. F ist streng monoton zunehmend in ganz <math>R</math>.
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4. <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x</math> mit <math> D^{-1} = R</math>, <math>W^{-1} = R</math>
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{{Merke|
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1. Potenzfunktionen <math>f: x \rightarrow x^n</math> mit ungeraden Exponenten <math>n</math> sind in <math>R</math> umkehrbar.
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Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x</math> mit <math> D^{-1} = R</math>, <math>W^{-1} = R</math>.
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2. Potenzfuntkionen <math>f: x \rightarrow x^n</math> mit geraden Exponenten <math>n</math> sind in <math>R</math> nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf <math>R^+_0</math>.
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Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x</math> mit <math> D^{-1} = R^+_0</math>, <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
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Aktuelle Version vom 23. April 2021, 09:55 Uhr

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Nuvola apps kig.png   Merke

Eine Funktion f heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Eine Funktion f heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".

Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".



Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Teste dein Wissen über die Definition der Monotonie auf dieser Seite.


Nuvola apps kig.png   Merke

Ist eine Funktion f im Intervall [a;b] streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.



Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Betrachte nun die Quadratfunktion f: x\rightarrow x^2 mit D = R.

1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?

2. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?

3. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.

1. Die Quadratfunktion ist im Intervall ]-\infty;0] streng monoton abnehmend und im Intervall [0;\infty[ streng monoton zunehmend.

2. Der linke Ast ist für x \in ]-\infty;0] umkehrbar
. Der rechte Ast ist für x \in [0;\infty[ auch umkehrbar.

3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion f eingeschränkt mit D = R^-_0 und W = R^+_0.
Die Umkehrfunktion ist f^{-1}:x \rightarrow -\sqrt x mit D^{-1} = R^+_0 und W^{-1} = R^-_0.

Umkfkt quafkt -.jpg

3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion f eingeschränkt mit D = R^+_0 und W = R^+_0
Die Umkehrfunktion f^{-1}:x \rightarrow \sqrt x mit D^{-1} = R^+_0 und W^{-1} = R^+_0.

Umkfkt quafkt +.jpg


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Betrachte nun die Potenzfunktion f: x \rightarrow x^3.

1. Gib Definitions- und Wertemenge an.

2. Zeichne den Graphen der Funktion f.

3. Wo ist die Funktion streng monoton?

4. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.

1. D = R, W = R

2. Umkfkt kubikfkt.jpg

3. F ist streng monoton zunehmend in ganz R.

4. f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x mit D^{-1} = R, W^{-1} = R

Nuvola apps kig.png   Merke

1. Potenzfunktionen f: x \rightarrow x^n mit ungeraden Exponenten n sind in R umkehrbar.

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x mit D^{-1} = R, W^{-1} = R.

2. Potenzfuntkionen f: x \rightarrow x^n mit geraden Exponenten n sind in R nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf R^+_0.

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x mit D^{-1} = R^+_0, W^{-1} = R^+_0.


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